3 replies to this topic

[phuc thang]

cho p là số nguyên tố. cmr:n^p-n p

[Ham_Toan]

Định lý Fermat nhỏ mà ! Có gì hỏi vậy em ?

[Pirates]

cho p là số nguyên tố. cmr:n^p-n p

Cái này là định lý nhỏ Fermat chứ sáng tạo gì đâu:
Nếu $p$ là một số nguyên tố và $a$ là một số nguyên tùy ý thì $(a^{p} - a) \vdots p$. Hay $(a, p) = 1$ thì $a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$

Cm:
Xét $p - 1$ số nguyên $a, 2a,..., (p - 1)a$. Không số nguyên nào trong các số nói trên chia hết cho $p$, vì nếu $p \vdots ba$ với $b$ nào đó thì $p \vdots b $ do $(a,p) = 1$. Mà ta có $1 \leq b \leq p - 1 $. Ngoài ra, không có hai số nguyên nào trong dãy trên đồng dư $mod p$. Thật vậy nếu $ba \equiv ka (mod p)$ thì do $(a,p) = 1$ nên suy ra $b \equiv k (mod p)$ tức là $b = k$, vì $1 \leq b , k \leq p-1 $. Vậy, các số nguyên $a, 2a,..., (p - 1)a$ là tập hợp $(p - 1)$ số nguyên không đồng dư 0 và không có hai số nào đồng dư nhau $mod p$, nên các thặng dư dương bé nhất của hệ đó phải là $1, 2, ..., p - 1$ xếp theo thứ tự nào đó. Từ đây suy ra: $a.2a ... (p - 1)a \equiv 1.2 ... (p - 1) (mod p)$.
Vậy: $a^{p - 1}(p - 1)! \equiv (p - 1)! (mod p)$.
Vì $((p - 1)!, p) = 1$ nên ta được: $a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$

Edited by Pirates, 26-11-2009 - 13:31.

[congcomMật khẩu:]

định lí này mình có 1 cách chứng minh dùng định lí wilson nói chung tư tưởng cũng giống trên nhưng có lẽ dài hơn ngiaj ko muốn viết ta cung xet các số như trên