Chủ đề này có 7 trả lời

[songgiominhanhnb]

chào các bạn, mình đang học lớp 11, cô giáo có giao 1 bài tập về nhà mà mình nghĩ mãi ko ra, bài toán đó là: có 8 loại vở khác nhau, cần mua 20 quyển, hỏi có bao nhiêu cách? ( tinh thần là có thể mua 20 quyển cùng một loại cũng được hoặc mua rải rác mỗi loại vài cuốn cũng được).
Mong các bạn góp ý, cảm ơn rất nhiều!

[xqmaths]

chào các bạn, mình đang học lớp 11, cô giáo có giao 1 bài tập về nhà mà mình nghĩ mãi ko ra, bài toán đó là: có 8 loại vở khác nhau, cần mua 20 quyển, hỏi có bao nhiêu cách? ( tinh thần là có thể mua 20 quyển cùng một loại cũng được hoặc mua rải rác mỗi loại vài cuốn cũng được).
Mong các bạn góp ý, cảm ơn rất nhiều!

có lẽ là: 8^20

[songgiominhanhnb]

có lẽ là: 8^20

đầu tiên mình cũng nghĩ như bạn nhưng nếu thế thì còn một cách nghĩ khác tương tự mà cũng đúng là 20^8. Nhưng cả hai đều không đúng bạn ah. Thử lấy ví dụ đơn giản là có 3 loại vở và mua 3 quyển thì theo phương pháp liệt kê là có 10 cách.

[chuyentoan]

Số cách mua chính là số nghiệm nguyên không âm của phương trình
$x_1+x_2+\cdots + x_8 = 20$
Số nghiệm trên là số nghiệm nguyên dương của phương trình
$x_1+x_2+\cdots + x_8 = 28$
Số nghiệm của phương trình này là $C_{27}^7$

Tổng quát. Có $m$ loại vở, cần mua $n$ cuốn thì số cách là $C_{m+n-1}^{n-1}$

Trường hợp $3$ loại vở và $3$ cuốn thì đáp số là $C_5^2 = 10$

[chuyentoan]

đầu tiên mình cũng nghĩ như bạn nhưng nếu thế thì còn một cách nghĩ khác tương tự mà cũng đúng là 20^8. Nhưng cả hai đều không đúng bạn ah. Thử lấy ví dụ đơn giản là có 3 loại vở và mua 3 quyển thì theo phương pháp liệt kê là có 10 cách.

Nhân tiện nói luôn về cách "đặt câu hỏi" trong giải toán tổ hợp.

Kết quả $8^{20}$ thu được là do cách đặt câu hỏi như sau:
+ cuốn vở thứ nhất loại gì? có bao nhiêu cách chọn? trả lời $8$
+ cuốn vở thứ hai loại gì? có bao nhiêu cách chọn? trả lời $8$
...
+ cuốn vở thứ hai mươi loại gì? có bao nhiêu cách chọn? trả lời $8$
Nhưng nếu chú ý sẽ thấy kết quả sai là vì. Đặt câu hỏi như thế là ta đang đếm các bộ có thứ tự. Mà cái ta cần phải đếm là một bộ 20 cuốn vở (không có thứ tự). Kết quả sai là do các bộ vở được đếm nhiều lần.

Bây giờ thay đổi cách đặt câu hỏi như sau:
+ có bao nhiêu vở loại một được mua? trả lời $x_1$
+ có bao nhiêu vở loại hai được mua? trả lời $x_2$
...
+ có bao nhiêu vở loại tám được mua? trả lời $x_8$
=> Có bao nhiêu cách mua? trả lời "là số nghiệm nguyên không âm của phương trình" $x_1+\cdots + x_8=20$"
Cách giải tiếp thì như đã nói ở trên.

Rút ra gì từ hai cách đếm trên? Một sự vật có thể nhìn từ nhiều góc độ, chỉ cần đổi góc độ nhìn, chọn góc độ để nhìn (chọn cách đặt câu hỏi) thì hướng giải bài toán sẽ hiện ra rõ ràng hơn. Đây cũng là một trong những tư tưởng chính khi giải toán tổ hợp và rời rạc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 15-12-2009 - 06:53

[songgiominhanhnb]

Số cách mua chính là số nghiệm nguyên không âm của phương trình
$x_1+x_2+\cdots + x_8 = 20$
Số nghiệm trên là số nghiệm nguyên dương của phương trình
$x_1+x_2+\cdots + x_8 = 28$
Số nghiệm của phương trình này là $C_{27}^7$

Tổng quát. Có $m$ loại vở, cần mua $n$ cuốn thì số cách là $C_{m+n-1}^{n-1}$

Trường hợp $3$ loại vở và $3$ cuốn thì đáp số là $C_5^2 = 10$

mình xin cảm ơn bạn chuyentoan (cho phép mình gọi bạn như vậy dù biết bạn hơn mình rất nhiều tuổi) rất nhiều. nhưng mình vẫn chưa hiểu tại sao số nghiệm của phương trình trên lại có kết quả như vậy. bạn có thể giải thích rõ hơn về điều này được không. và trường hợp tổng quát nữa. bạn căn cứ vào phép toán nào để tìm ra số nghiệm đó. xin cảm ơn!

[chuyentoan]

mình xin cảm ơn bạn chuyentoan (cho phép mình gọi bạn như vậy dù biết bạn hơn mình rất nhiều tuổi) rất nhiều. nhưng mình vẫn chưa hiểu tại sao số nghiệm của phương trình trên lại có kết quả như vậy. bạn có thể giải thích rõ hơn về điều này được không. và trường hợp tổng quát nữa. bạn căn cứ vào phép toán nào để tìm ra số nghiệm đó. xin cảm ơn!

Bài toán 1:
Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình:
$x_1+\cdots +x_n=m$

Gợi ý: Có $m$ số $1$. Số nghiệm của phương trình là số cách đặt $n-1$ vách ngăn vào giữa các số $1$ này chia thành $n$ phần, mỗi phần tương ứng với giá trị của các $x_i$. Rõ ràng có $m-1$ vị trí để đặt vào. Vậy đáp số là $C_{m-1}^{n-1}$

Bài toán 2:
Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình:
$x_1+\cdots + x_n = m$

Gợi ý: Phương trình tương đương
$(x_1+1) + \cdots + (x_n+1)=m+n$
Đặt $y_i = x_i + 1$
Phương trình trên tương đương
$y_1+\cdots + y_n = m + n$
Với $y_i$ là các số nguyên dương. Theo bài toán 1 thì số nghiệm là $C_{m+n-1}^{n-1}$

[songgiominhanhnb]

Bài toán 1:
Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình:
$x_1+\cdots +x_n=m$

Gợi ý: Có $m$ số $1$. Số nghiệm của phương trình là số cách đặt $n-1$ vách ngăn vào giữa các số $1$ này chia thành $n$ phần, mỗi phần tương ứng với giá trị của các $x_i$. Rõ ràng có $m-1$ vị trí để đặt vào. Vậy đáp số là $C_{m-1}^{n-1}$

Bài toán 2:
Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình:
$x_1+\cdots + x_n = m$

Gợi ý: Phương trình tương đương
$(x_1+1) + \cdots + (x_n+1)=m+n$
Đặt $y_i = x_i + 1$
Phương trình trên tương đương
$y_1+\cdots + y_n = m + n$
Với $y_i$ là các số nguyên dương. Theo bài toán 1 thì số nghiệm là $C_{m+n-1}^{n-1}$

bây giờ thì mình đã hiểu. chân thành cảm ơn bạn chuyentoan rất nhiều!