Thông thường cặp u,v là cặp hàm điều hòa liên hợp thỏa các PDE
u'x=v'y và u'y=-v'x nên có thể tích phân lên để tính được v rồi suy ra f.
Mr. Big Problem đưa ra dưới đây một kĩ thuật để tính f mà không dùng đến tích phân.kí hiệu f* là hàm liên hợp của f.Khi đó vì f* giải tích nên df*/dz=0 do đó có thể xem f* là hàm của z* (1).
Khi đó ta có
u(x,y)=1/2[f(x+iy)+f*(x-iy)]
Sẽ là hợp lý nếu chúng ta xem đẳng thức trên cũng đúng với x,y là các số phức (2).
Từ đó cho x=z/2,y=z/2i ta sẽ có :
u(z/2,z/2i)=1/2[f(z)+f*(0)]
Vì họ f(z) tìm được chỉ sai khác nhau một hằng số phức nên có thể xem là f(0)=u(0,0),suy ra f*(0,0)=u(0,0).
Từ đó suy ra
f(z)=2u(z/2,z/2i)-u(0,0).
Công thức cuối cùng này cho ta hàm giải tích f.
Câu hỏi của Mr. Big Problem là bạn hãy làm sáng tỏ (1) và (2)!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr. Big Problem: 02-07-2005 - 07:23
