Bài này cần điều kiện là $ a,b,c \geq 1 $
do $ a,b,c \geq 1 $ nên
$ \dfrac{1}{1+a^2} \geq \dfrac{1}{1+a^3},.... $
$ => \dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2} \geq \dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}$ (1)
ta sử dụng phương án quy nạp cô si để chứng mình :
$ \dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3} \geq \dfrac{3}{1+abc} $
+) chứng minh nếu $ x,y \geq 1 $ thì
$ \dfrac{1}{1+x^2}+ \dfrac{1}{1+y^2} \geq \dfrac{2}{1+xy} (<=> (xy-1)(x-y)^2 \geq 0) $
+)lấy thêm $ d \geq 1 $
bi giờ do trên
$ \dfrac{1}{1+a^3} + \dfrac{1}{1+b^3} \geq \dfrac{2}{1+ \sqrt{a^3.b^3}}; $
$ \dfrac{1}{1+c^3} + \dfrac{1}{1+d^3} \geq \dfrac{2}{1+\sqrt{c^3.d^3}}; $
$ \dfrac{1}{1+ \sqrt{a^3.b^3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{c^3.d^3}} \geq \dfrac{2}{1+\sqrt[4]{a^3b^3c^3d^3}} $
$ => \dfrac{1}{1+a^3} + \dfrac{1}{1+b^3} +\dfrac{1}{1+c^3} + \dfrac{1}{1+d^3} \geq \dfrac{4}{1+\sqrt[4]{a^3b^3c^3d^3}} $
+)chọn $ d=\sqrt[3]{abc} $
$ => \dfrac{1}{1+a^3} + \dfrac{1}{1+b^3} +\dfrac{1}{1+c^3} \geq \dfrac{3}{1+abc} $ (2)
+)từ $ (1),(2)=> dpcm $
p/s : Sáng tạo bất đẳng thức là quyển sách viết về bất đẳng thức của anh Phạm Kim Hùng, cuốn này hay cực kì ^^! . Bạn có thể lên mạng tìm bản ebook nhưng mà nên mua sách gốc để ủng hộ tác giả ( mặc dù bây giờ toàn sách lậu =.=, thầy tớ cũng dùng =.= vì hok thấy sách gốc )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuytien92: 15-02-2010 - 21:21