1) Phân tích SOS cho biểu thức: $M= 4(a^3+b^3+c^3)-(a+b)(b+c)(c+a)-4abc$
Giải: Cho $a=b$, ta có $M=(6a+4c)(a-c)^2$ (1)
Cho $b=c$, ta có $M=(6b+4a)(a-b)^2$ (2)
Cho $c=a$, ta có $M=(6c+4b)(b-c)^2$ (3)
Từ đó ta có hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=3a+3b+4c$ (1')
$S_b+S_c=3b+3c+4a$ (2')
$S_c+S_a=3c+3a+4b$ (3')
Từ đây ta tính được $S_a=2b+2c+a$ ; $S_b=2a+2c+b$ ; $S_c=2a+2b+c$
Vậy ta có : $M= (2b+2c+a)(b-c)^2+(2a+2c+b)(c-a)^2 + (2a+2b+c)(a-b)^2$
* Chắc các bạn thắc mắc rằng tại sao ta có hệ trên. Chú ý là các biểu thức $S_a,S_b,S_c$ là các biểu thức bán đối xứng.Ở (1) ta đã gọp a và b thành một nên sau khi chia xong ta phải tách chúng ra mà cụ thể $6a=3a+3b$ . Tương tự đó với (2) và (3).
Sau đây là ví dụ khác.
2) Phân tích SOS cho biểu thức $N=a^3+b^3+c^3+3abc-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)$
Giải: Cho $a=b$, thì $N=c(a-c)^2$
Cho $b=c$, thì $N=a(b-a)^2$
Cho $c=a$ , thì $N= b(c-b)^2$
Từ đây ta được hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=c$
$S_b+S_c=a$
$S_c+S_a=b$
từ đây ta tính được $S_a= \dfrac{b+c-a}{2}$ ; $S_b=\dfrac{a+c-b}{2}$ ; $S_c=\dfrac{a+b-c}{2}$
Từ đây ta kết luận: $N= \dfrac{b+c-a}{2}(b-c)^2+\dfrac{a+c-b}{2}(c-a)^2+\dfrac{a+b-c}{2}(a-b)^2$.
Ví dụ 3)
Phân tích SOS cho biểu thức $A=a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)$.
Giải:
Cho $a=b$ ta có $A=(2a^2+2ac+c^2)(a-c)^2$
cho $b=c$ ta có $A=(2b^2+2ab+a^2)(a-b)^2$
cho $a=c$ ta có $A=(2c^2+2bc+b^2)(b-c)^2$
Từ đó ta được hệ gồm 3 pt sau
$S_a+S_b=a^2+b^2+ac+bc+c^2$
$S_b+S_c=b^2+c^2+ab+ac+a^2$
$S_c+S_a=c^2+a^2+bc+ab+b^2$
Từ đây ta tính được
$S_a=\dfrac{a^2+(b+c)^2}{2} ; S_b=\dfrac{b^2+(a+c)^2}{2} ; S_c=\dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}$
Vậy $A= \dfrac{a^2+(b+c)^2}{2}(b-c)^2+\dfrac{b^2+(c+a)^2}{2}(c-a)^2 + \dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}(a-b)^2$
Vì thời gian có hạn nên mình chỉ post vài ví dụ minh họa, mong các bạn góp ý. Nếu có sai sót xin bỏ qua!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhdieu12: 21-12-2009 - 16:10