Chẳng hạn$,$ đa thức bậc cao như$:$ $f(\,a,\,b)= a^{\,4}+ b^{\,4}+ 2\,a^{\,2}b^{\,2}+ a^{\,3}b+ ab^{\,3}$$,$ vậy nếu$:$ $f(\,a,\,b)\equiv f(\,a,\,a\,) $ thì chỉ cần hệ số trong đa thức cân bằng thôi thì cũng hàng vô số đa thức như vậy$:$
$$f(\,a,\,a)= 6\,a^{\,4}= 3\,a^{\,4}+ 3\,b^{\,4}= 2\,a^{\,4}+ 2\,b^{\,4}+ a^{\,3}b+ ab^{\,3}= a^{\,4}+ b^{\,4}+ 4\,a^{\,2}b^{\,2}= \,...\,$$
hàng loạt đa thức đối xứng$:$ $f(\,a,\,b\,)$$,$ còn bài về ví dụ bất đẳng thức bậc $4$ thì duyên cớ là đa thức vế trái có hệ số khác không cho bậc $4$ và bậc $2$ mà không có bậc $3$ $($hiển nhiên chỉ có một đa thức $S_{\,a}$ đối xứng rồi$!$
Em thử phân tích ví dụ này như không ra dạng chính tắc của sos như bình thường ạ
$a^4 + b^4 +2a^2 b^2 +a^3 b + ab^3 = a^2(a^2+ab+b^2) - 3a^3b + b^2(b^2+ab+a^2)-3ab^3 + 3ab(a^2+b^2)$
$=a^2(a-b)^2 + b^2(a-b)^2 + 3ab(a^2+b^2)$
$=(a^2+b^2)(a-b)^2 + 3ab(a^2+b^2)=(a^2+b^2)((a-b)^2+3ab)$
Nó ra thế này cơ?