Chủ đề này có 1 trả lời

[vo thanh van]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH BẾN TRE DỰ THI HSG CẤP QG
Năm học: 2009 - 2010
Thời gian: 180 phút

Bài 1: (4đ)
Cho tam giác ABC chọn có các cạnh là BC = a, CA = b, AB = c. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P theo thứ tự.
1. Tìm vị trí của M, N, P sao cho chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.
2. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a, b, c.
Bài 2: (4đ)
Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bình phương là 3. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{ca}}\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3: (3đ)
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}(\sqrt{2})^{x}+(2\sqrt{2})^{y}=6\\xy=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.$
Bài 4: (4đ)
Cho S là tập hợp n số nguyên dương đầu tiên. Với mỗi tập con $A_{i}$ của S có i phần tử,$1\leq i\leq n$ mà các phần tử này xếp theo thứ tự: $x_{1}>x_{2}>x_{3}>...>x_{i};x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{i}\in A_{i}$, gọi $\varphi (A_{i})=\sum_{j=1}^{i}(-1)^{j+1}x_{j}$ được gọi là tổng đan dấu của $A_{i}$. Tính tổng tất cả các tổng đan dấu của $A_{i}$.
Bài 5: (5đ)
Với mỗi số nguyên dương n, xét bất phương trình sau:
$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{x-k}\geq \dfrac{3}{2}$.
1. Chứng minh tập nghiệm của BPT có dạng hợp của các nửa khoảng:
$(i;x_{i}],x_{i}\in R,i=1,n$.
2. Tính giới hạn sau: $\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{i=1}^{n}\dfrac{x_{i}-i}{n^{2}}$

[vo thanh van]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BẾN TRE
NĂM HỌC: 2009-2010
Ngày thi: 16/12/2009

Bài 1: (3đ)
Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng AB cố định và điểm C di động sao cho A, B, C không thẳng hàng. Phía ngoài tam giác dựng hai hình vuông là ACEM và BCFN. Chứng minh rằng: MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 2: (4đ)
Tìm tất cả các hàm số $f(x):R\rightarrow R$ thỏa mãn đồng thời:
i/ $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x}=1$
ii/$f(x+y)=f(x)+f(y)+2x^{2}+3xy+2y^{2},\forall x,y\in R$
Bài 3: (4đ)
Tìm công thức tổng quát của dãy số sau:
$ \left\{\begin{matrix}\\u_{1}=1^{2}\\u_{2}=2^{2}+4^{2}\\u_{3}=3^{2}+5^{2}+7^{2}...\end{matrix}\right$
Bài 4: (4đ)
Cho tam giác ABC có diện tích là 1. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, E, F chia các đoạn tương ứng theo tỉ lệ x ( x là số thực bất kì khác 1). Các đoạn thẳng AD, BE, CF đôi một cắt nhau tạo thành tam giác MNP.
1. Tính diện tích tam giác MNP theo x. Đặt biểu thức nhận được là f(x).
2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f(x) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài 5: (5đ)
Cho đa giác đều 15 cạnh nội tiếp đường tròn (O). Nối O với các đỉnh của đa giác chia nó thành 15 tam giác. Tô màu các tam giác này bởi 5 màu: đỏ, xanh, vàng, lục, lam sao cho hai tam giác kề nhau được tô khác màu. Tính số cách tô.