Chủ đề này có 51 trả lời

[vinhspiderman]

2 mọi người.
Độ này spiderman đang bị "đày ở Capskadơ", hix hix. Bị nhốt trong tù, tôi "nghiền ra" một bài toán nhỏ cũng thú vị, mọi người cùng thảo luận xem sao :

Bài toán : Tồn tại hay không một trường K sao cho K chứa một trường con thực sự K1 đẳng cấu với chính nó.

Tôi đã có câu trả lời "Không" khi K là trường đóng đại số. Nếu K không là trường đóng đại số chưa có câu trả lời vì ... vừa mới nghĩ ra câu hỏi, hì hì. Mọi người cùng thảo luận nhé.

[noproof]

Bài toán : Tồn tại hay không một trường K sao cho K chứa một trường con thực sự K1 đẳng cấu với chính nó.

Có chứ! Có kết quả sau khá hay:
Đinh lý Luroth: Cho k là một trường. Khi đó, mọi trường con khác k của trường các hàm hữu tỷ k(t) đều đẳng cấu với k(t).

[vinhspiderman]

2 anh noproof!

Anh noproof ơi, sao định lý anh nêu lên bị nhầm vậy?
Ví dụ Q là trường con của R nhưng không đẳng cấu với R(t).
Hơn nữa nếu t là đại số trên K thì điều đó cũng không đúng, chẳng hạn
Q in Q(5^(1/2)) in Q(5^(1/4)) nhưng Q(5^(1/2)) không đẳng cấu với Q(5^(1/4)).

Có phải ý anh là giả sử t là siêu việt trên K, khi đó mọi trường con nằm giữa K và K(t) đều đẳng cấu với K(t) đúng không ah?
Nhưng giả sử khẳng định đó là đúng thì vẫn chưa đủ để đưa ra khẳng định là có, vì cần phải chứng minh rằng trong trường hợp đó, tồn tại một trường con của K(t) thực sự nằm ở giữa K và K(t). Em nghĩ là nếu t là siêu việt trên K thì không tồn tại trường con nào giữa hai trường này cả.

[noproof]

Có phải ý anh là giả sử t là siêu việt trên K, khi đó mọi trường con nằm giữa K và K(t) đều đẳng cấu với K(t) đúng không ah?

Ồ, sorry . Thiếu điều kiện trường con này của k(t) phải chứa k (và khác k).

Trường các hàm hữu tỷ k(t) là trường các phân thức P(t)/Q(t), P, Q là các đa thức hệ số trong k với biến t là biến. (Đúng như ý của vinhspiderman ).

Có tồn tại trường con nắm giữa k và k(t) chứ, chẳng hạn , cũng có thể thay t+1 bởi một hàm hữu tỷ g(t) tủy ý: . (Ngược lại, định lý Luroth có một phát biểu là: mọi trường con chứa k của k(t) đều có dạng k(g(t)), với g(t) là một hàm hữu tỷ, xem giới thiệu trong "Basic Algebraic Geometry", I. R. Shafarevich, xoắn 1, trang 9, sách năm 1977.)

[vinhspiderman]

Hay thật! Cám ơn anh noproof nhiều nhé!

Ah, nội dung định lý này khá hay, nhưng sao nó không nổi tiếng lắm nhỉ? Em tra trên MathWolfram thì không có kết quả nào gắn với tên Luroth cả! Ông Luroth này chắc là người Nga nhỉ? Có vẻ như tụi Tây bị "định kiến" với mấy ông người Nga nhỉ! Ha ha.
Mấy bữa rầy đụng chạm đến mấy cái mở rộng trên trường và vành rất nhiều, đủ các loại, hôm nào có thời gian spiderman sẽ pót lên diễn đàn để thảo luận tiếp với mọi người.

Ah, nhân tiện đây, spiderman cũng xin hỏi mọi người (đặc biệt là các anh Canhdieu và noproof) về một kết quả sau đây:

Định lý Mở rộng (Extension theorem) : Cho A là vành con của trường B. C là một trường đóng đại số. Giả sử a: A-->C là một đồng cấu không tầm thường. Khi đó tồn tại một vành định giá D (valuation ring) của B và một đồng cấu b sao cho
(1) D chứa A
(2) b: D-->C là mở rộng của a
(3) Kerb là ideal cực đại duy nhất của D

Cái định lý Mở rộng này spiderman đụng phải trong cuốn Algebraic Geometry của Daniel Bump, rất thắc mắc. spiderman thấy nó là một công cụ "kha khá" nhưng sao không thấy trình bày trong các tài liệu kinh điển về Commutative algebra. spiderman muốn hỏi mọi người tất cả những thông tin về định lý này.

[lavieestunemerde]

Ah, nội dung định lý này khá hay, nhưng sao nó không nổi tiếng lắm nhỉ? Em tra trên MathWolfram thì không có kết quả nào gắn với tên Luroth cả! Ông Luroth này chắc là người Nga nhỉ? Có vẻ như tụi Tây bị "định kiến" với mấy ông người Nga nhỉ! Ha ha.

Đồng chí này nói nhăng nói cuội. Đây là định lý Lueroth trên Math world : http://mathworld.wol...thsTheorem.html

Bác này người Đức (http://www-groups.dc...es/Lueroth.html)

[nhoBL]

Định lý Mở rộng (Extension theorem) : Cho A là vành con của trường B. C là một trường đóng đại số. Giả sử a: A-->C là một đồng cấu không tầm thường. Khi đó tồn tại một vành định giá D (valuation ring) của B và một đồng cấu b sao cho
(1) D chứa A
(2) b: D-->C là mở rộng của a
(3) Kerb là ideal cực đại duy nhất của D

Hãy xem trình bày về định lý này trong 'Introduction to commutative algebra' của Macdona, trong phần "Phụ thuộc nguyên và định giá". Có trong thư viện của Viện toán học Hà Nội.

[vinhspiderman]

Thank to lavieestunemerde and nhoBL!

to lavieestunemerde : Cám ơn bạn. Đúng là có định lý Luroth, nhưng mà tên ông ấy trên chữ u có 2 dấu chấm, spiderman ko biết, gõ "Luroth" nên tra ko ra!

[vinhspiderman]

Có vấn đề nữa đây, ai quan tâm đến lý thuyết mở rộng vành thì cùng trao đổi nhé (quái thật, sao trên diễn đàn lắm cao thủ "ẩn dật" thật! Hì hì)

Định nghĩa : một miền nguyên A được gọi là một R-miền khi giao của mọi ideal cực đại trong A bằng 0. (cái thuật ngữ này spiderman thấy chưa thông dụng lắm, các bác có thêm thông tin nào không thì chỉ giáo thêm)

Điều đã biết : Cho B là một mở rộng nguyên của R-miền A. Giả sử M là ideal cực đại của A, khi đó tồn tại một module con cực đại M1 của B sao cho M1 giao với A bằng M.

Câu hỏi là : ngược lại nếu M1 là một ideal cực đại của B thì M1 giao A có phải là ideal cực đại của A hay không?

spiderman nghĩ đây là một câu hỏi rất thú vị! Không biết người ta đã có câu trả lời chưa (cái này, chỉ trách mình dốt và quơ mùa quá, hi hi). Các bác cùng thảo luận nhé!

[canh_dieu]

Cái thuật ngữ R-miền chưa nghe nói đến bao giờ, chắc là không thông dụng. Thông thường người ta chỉ viết http://dientuvietnam...tex.cgi?rad®=0.

Mọi mở rộng nguyên đều thỏa mãn Going Up Theorem, tức là nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A và http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M nguyên tố trong http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B với http://dientuvietnam...etex.cgi?M' nguyên tố trong http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B sao cho http://dientuvietnam...metex.cgi?rad(A)=0.

[quantum-cohomology]

Em đọc thấy cũng có định lý Lüroth trong cuốn của Humphreys về nhóm đại số tuyến tính.

[vinhspiderman]

Cảm ơn anh canhdieu chỉ giáo nhé!
À, cái thuật ngữ R-miền này là do spiderman đọc thấy và dùng theo ông Stalling. Chẳng biết cuốn sách đó là gì vì spiderman chỉ có mỗi chương 3 của nó đề là:
"commutative ring and applications to groups"
(Tài liệu này lấy từ trên net)