Chủ đề này có 3 trả lời

[chuyentoan]

Tam giác ABC có bán kính ngoại tiếp làhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R. Đường tròn qua A tiếp xúc với BC tại trung điểm của BC có bán kính http://dientuvietnam...imetex.cgi?R_1. http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R_1^2+R_2^2+R_3^2\ge\dfrac{27}{16}R^2

[chuyentoan]

Không ai quan tâm đến bài này à???

[ntk]

Bài này không có gì mới lắm, đúng như bạn chuyentoan nói. Mình tính được R1, R2, R3 rồi khai triển đại số là ra. Cách này mình cho là không hay lắm nên để mọi người đưa ra cách khác.

[chuyentoan]

Lời giải của chuyentoan là như sau:

Ký hiệu http://dientuvietnam...imetex.cgi?(O_1\) là đường tròn qua A và tiếp xúc với BC tại M. Từ tam giác http://dientuvietnam...metex.cgi?O_1MA ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{2}m_1^2=R_1h_1
Tương tự:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{2}m_2^2=R_2h_2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{2}m_3^2=R_3h_3
Nên: http://dientuvietnam...{8}(a^2 b^2 c^2\)=\dfrac{m_1^2+m_2^2+m_3^2}{2}=R_1h_1+R_2h_2+R_3h_3 (1)
Áp dụng Bunhia ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R_1h_1+R_2h_2+R_3h_3lesqrt{(R_1^2+R_2^2+R_3^2\)\(h_1^2+h_2^2+h_3^2\) (2)
Ta có đẳng thức (các bạn có thể dễ dàng chứng minh):
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?h_1^2+h_2^2+h_3^2=\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4R^2} (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Từ đây suy ra BĐT được chứng minh!