Chủ đề này có 4 trả lời

[Pirates]

Bài 1: Cho các số dương $x, y, z$ thay đồi thỏa mãn điều kiện sau:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \leq 3(x + y + z)(xy + yz + zx)$
Tìm GTNN của biểu thức:
$S = \dfrac{xy}{z^2 + 1} + \dfrac{yz}{x^2 + 1} + \dfrac{xz}{y^2 + 1}$

Bài 2: Cho bốn số nguyên dương $a, b, c, d$ thỏa mãn điều kiện $(a + bc)(b + ca)= 5^d$ và $a, b$ không chia hết cho 5. Chứng minh rằng d là số chẵn.

Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
$x^4 + 6x^2.y^2 + y^4 = 8$
$x^3 + 3xy^2 = 2 + x^2 + y^2 $

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn vào không cân. O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. M là trung điểm của BC. ME; MF theo thứ tự cắt AB; AC tại K, L. N, P lần lượt là trung điểm của AC; AB .Chứng minh rằng:
a) Trung điểm của các đoạn EF; NP; LK cùng thuộc 1 đường thẳng.
b) Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AEF, ALK cùng đi qua 1 điểm trên OH.

Bài 5: Xét bảng ô vuông 2010 x 2010. Mỗi ô của bảng, ta tô bởi 1 trong 2 màu: xanh hoặc đỏ, sao cho mỗi ô đỏ không nằm ở biên thì có đúng 5 ô màu xanh nằm quanh nó, mỗi ô màu xanh thì có đúng 4 ô màu đỏ nằm quanh nó. Tính số ô xanh vào số ô đỏ trong bảng đã cho.

Đề khá hay, vừa sức...

[phung khac bac linh]

này bài 5 của đề thi thuộc loại toán gì thế?

[Pirates]

này bài 5 của đề thi thuộc loại toán gì thế?

Bài 5 là một bài rời rạc, bài này có thể giải bằng bất biến...

[mileycyrus]

Bài 5 là một bài rời rạc, bài này có thể giải bằng bất biến...

làm bài GTNN đi

[NightBaron]

Bài 1: Cho các số dương $x, y, z$ thay đồi thỏa mãn điều kiện sau:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \leq 3(x + y + z)(xy + yz + zx)$
Tìm GTNN của biểu thức:
$S = \dfrac{xy}{z^2 + 1} + \dfrac{yz}{x^2 + 1} + \dfrac{xz}{y^2 + 1}$

Giả thiết tương đương với: $3xyz(x+y+z)\geq 1$

Theo BDT AG-GM ta có: $xy+yz+zx\geq \sqrt{3xyz(x+y+z)}\ge 1$

Do đó:

$S\geq \sum\dfrac{xy}{z^2+xy+yz+zx}=\sum\dfrac{xy}{(x+z)(y+z)}$

Ta sẽ chứng minh rằng:

$L=\sum\dfrac{xy}{(x+z)(y+z)}\geq \dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\geq \dfrac{3}{4}(x+y)(y+z)(z+x)$

$ \Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz\geq \dfrac{3}{4}[(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz]$

$ \Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)\ge 9xyz $ (AG-GM)

Vậy $Min S=\dfrac{3}{4}$. Đẳng thức nếu chỉ nếu $x=y=z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$