Mình mở topic này để mọi người tham khảo và vận dụng để giải các bài trong box này:
Nếu thiếu sót thì nhờ mọi người bổ sung nhé.Thanks very much!
1. Bất đẳng thức AM-GM: Với m số không âm $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ ta có:
$a_{1}+a_{2}+...+a_{m}\geq m\sqrt[m]{a_{1}a_{2}...a_{m}}$. Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}.$
AM-GM suy rộng:Với m số không âm $a_{1},a_{2},...,a_{m}$và m số thực dương:$ \alpha_1;\alpha_2;....;\alpha_m $ta có:
$ \sum \alpha_{i}a_{i} \geq ( \sum \alpha_i ).( \bigcap\limits_{i=1}^{m}a_i \alpha_i)^{\dfrac{1}{\alpha_1+\alpha_2+....+\alpha_m }} $
Mình chỉ mới thấy lời giải cho :$ \alpha_1;\alpha_2;....;\alpha_m $ là số hữu thỉ dương thui.
2.Cauchy - Schwazs: . với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{m}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{m}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^{2}$
Đẳng thức xảy ra khi : $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ bất kì và $b_{1},b_{2},...,b_{m}\geq 0$ ta có :
$\dfrac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+...+\dfrac{a_{m}^{2}}{b_{m}}\geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}.$Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
4.Bất đẳng thức Mincopxki (Mincowski): Với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ ;1<p hửu tỉ thì :
$ (\sum a_{k}^p)^{\dfrac{1}{p}} +(\sum b_{k}^p)^{\dfrac{1}{p}} \geq [(\sum (a_k +b_k)^p]^{\dfrac{1}{p}} $
Đẳng thức xảy ra khi :$\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
5. Bất đẳng thức Holder: Cho hai bộ $ a_1;a_2;...;a_n and b_1;b_2;...;b_n \in R;p,q \in R ;1/p+1/q=1 $ thì BĐT sau đúng :
$ (a_1^{p}+a_2^{p}+...+a_n^{p})^{\dfrac{1}{p}} . (b_1^{p}+b_2^{p}+...+b_n^{p})^{\dfrac{1}{p}} \geq \sum a_{1}b_{1} $
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau
Các hệ quả đơn giãn hay dùng:
$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}.$
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
Ngoài ra như chúng ta biết là còn 4 bất đẳng thức mở rộng nữa tuy nhiên nó ít được ứng dụng,xin không nêu.
6. Bất đẳng thức Schur:6.1) Dạng tổng quát:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $t > 0$ ta có : $a^{t}(a-b)(a-c)+b^{t}(b-c)(b-a)+c^{t}(c-a)(c-b)\geq 0.$
Đẳng thức xảy ra khi : $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: $t=1$ và $t=2$
$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$ .
Trong trường hợp $t=1$ thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a).$
$4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{3}+9abc.$
Hệ quả rất thông dụng: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc.$
Với $t=2$ ta có dạng quen thuộc hơn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)$.
6.2) Schur suy rộng:
$ x(a-b)(a-c)+y(b-a)(b-c)+z(c-a)(c-b) \geq 0 $
Bất đẳng thức sẽ đúng nếu như với mọi a
b 
c 0 và x;y;z 
0 nếu có 1 điều kiện sau đúng:a) x
y (hoặc z y) (Rất hay)b)ax
byc)bz
cy (Nếu a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác)d)$ \sqrt{x} +\sqrt{z} \geq \sqrt{y} $
e)$ x^2 +y^2 +z^2 \leq 2(xy+yz+zx) $
Ngoài ra cũng còn hai bất Suy rộng của bất đẳng thức SChur nhưng cũng ít được ứng dụng.Đối với Suy rộng thứ 2 thì chúng ta có thể biến về suy rộng kiểu1.
7. Bất đẳng thức Trêbưsep
Chebyshev):7.1) Với $a_{1}; a_{2}; ...; a_{m}$ và $b_{1}; b_{2};...;b_{m}$ là 2 bộ cùng tính thì:$ m(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{m})(b_{1}+b_{2}+...+b_{m}).$
Đẳng thức xảy ra khi : $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}$ và $ b_{1}=b_{2}=...=b_{m}.$
Nếu $a_{1}; a_{2}; ...; a_{m}$ và $ b_{1};b_{2}; ...; b_{m}$ thì .
$ m(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{n}+...+a_{m}b_{m}) \leq (a_{1}+a_{2}+...+a_{m})(b_{1}+b_{2}+...+b_{m}).$
7.2)Bất đẳng Chebyshev suy rộng:Cho $ m_1;m_2:...:m_n >0 $ thõa mãn $ m_1+m_2+...+m_n=1 $
Với $a_{1}; a_{2}; ...;\geq a_{m}$ 2 bộ cùng tính thì:
$m_{1}a_{1}b_{1}+m_{2}a_{2}b_{2}+...+m_{n}a_{m}b_{m})\geq (m_{1}a_{1}+...+m_{n}a_{m})(m_{1}b_{1}+...+m_{n}b_{m}).$
Nếu là 2 bộ đơn điệu ngược tính thì BDT đổi chiều.
Ngoài ra các bạn cũng thấy có vài kết quả làm mạnh của Trê nữa,xin phép được để mọi người nhớ lại.
8. Bất đẳng thức Nét bít (Nesbitt):2 trương hợp hay dùng là:
BĐT Nesbitt 3 biến : Với $ a,b,c >0$ thì $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}.$
BĐT Nesbitt 4 biến : với $a,b,c,d >0$ thì :$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a} +\dfrac{d}{a+b}\geq 2.$
Bất đẳng thức cũng đúng cho đến 14 biến.
ĐẲng thức xẩy ra khi các biến bằng nhau.
9.Bất đẳng thức hoán vị:
Với $a_{1}; a_{2}; ...; a_{m}$ và $b_{1}; b_{2};...;b_{m}$ và $(t_1;...;t_n) $là hoán vị của $(b_1;...;b_n)$:
Nếu cùng tính thì: $ \sum a_{1}b_{1} \geq \sum a_{1}t{1} $
Nếu ngược tính thì:$ \sum a_{1}b_{1} \leq \sum a_{1}t{1} $
Chúng ta cũng biết có BDt hoán vị tổng quát nhưng xin phép được để mọi người tự nhớ lại.
10.Bất dẳng thức Jensen:
Cho $ x_1;x-2;...;x_n \in I and \alpha_1 ;\alpha_2;... ;\alpha_n ;\sum \alpha_i =1 $
Nếu $ f(x) $ là hàm lồi trên I thì ta có:$ f( \alpha_{1}x_{1};...;\alpha_{n}x_{n}) \leq \sum \alpha_{i}f(x_{1}) $
Nếu $ f(x) $ là hàm lõm trên I thì ta có:$ f( \alpha_{1}x_{1};...;\alpha_{n}x_{n}) \geq \sum \alpha_{i}f(x_{1}) $
Cái Jensen trình độ mới chỉ vận dụng làm được vài bài đơn giãn nên dừng tại cái cơ bản này.(Nhìn đơn giãn quá nhỉ)
11.Bất đẳng thức karamataCho 2 bộ được sắp xếp theo thứ tự $ (a)=(a_1;a_2;...;a_n) and(b)=(b_1;...;b_n) $với (a) trội hơn (b) khi đó ta có:
Nếu $ f $ là hàm lồi trên I thì ta có:$ \sum f(a_i) \geq \sum f(b_i) $
Nếu $ f $ là hàm lõm trên I thì ta có:$ \sum f(a_i) \leq \sum f(b_i) $
Ngoài ra ta còn có RCF;LCF;LCRCF,SIP nhưng chưa học kĩ hàm lồi bên trái bên phải nên không giám viết bậy.
12.Bất đẳng thức đổi biến P,Q,RĐặt $ a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r $
Khi đó ta có:
$ p^2 \geq 3q ; p^2q+3pr \geq 4q^2 ; p^{2}q \geq 3pr+2q^2 ; p^3 +9r^2 \geq 4pqr $; $p^{3}+9r \geq 4pq ; p^4+4q^2+6pr \geq 5p^{2}q $
$ q^2 \geq 3pr ; pq^2+3pq^2 \geq 4p^{2} ; pq^{2} \geq 2p^{2}r+3qr ; 2p^{3}+9r^{2} \geq 7pqr $
$ p^3 \geq 27r ; p^{4} +3q^{2} \geq 4p^{2}q ; 2p^{3} +9r \geq 7pq ; p^{3}r +q^3 \geq 6pqr $
13.Vài tiêu chuẩn S.O.S
1) $ S_{a};S_b;S_c \geq 0.$
2)$\left\{\begin{array}{l}S_a+S_{b};S_{b}+S_{c}; S_{c}+S_{a} \geq 0 \\a\geq b\geq c \end{array}\right. $
3) $ \left\{\begin{array}{l}a\geq b \geq c \\S_{a};S_{c} \geq 0 \\S_{a}+2S_{b} ; S_{c}+2S_{b} \end{array}\right. $
4) $ \left\{\begin{array}{l}c\geq b \geq a \\S_{a};S_{b} \geq 0 \\b^{2}S_{c} +c^{2}S_{b} \geq 0 \end{array}\right. $
5) $ \left\{\begin{array}{l} S_{a}+S_{b} \geq 0 \\S_{b}+S_{c} \geq 0 \\S_{c}+S_{a} \geq 0 \\ \sum S_{a}S_{b} \geq 0 \end{array}\right. $
HeHe.Mình thất Phân tích thành bình phương không khó mà cái khó là dùng tiêu chuẩn nào để cm được thui.
14.Các dạng dồn biến:
1) Dồn biến có điều kiện:Để chứng minh $ f(a,b,c) \geq 0 $ với a,b,c là các biến và tồn tại $ g(a,b,c)=0 $ thì chỉ cần chứng minh
$ f(a,b,c) \geq f(a,t,t) $ với t là biến thõa mãn $ g(a,t,t)=0 $.Thường t= tb cộng,tb nhân,tb điều hòa;căn tb tổng các bình phương ....
2)Ngoài ra còn SMV;UMV;dồn biến bằng quy nạp thừa;EMV;GMV
mình chỉ mới biết vận dụng cái đầu tiên là dồn biến về giá trị trung bình nên cũng không giám viết nhiều.
Ngoài ra hai bất đẳng thức Bernuli vàMuidhead cũng rất dễ học(ko tin mời thử) và sữ dụng rộng rãi chẳng phải dính đến đạo hàm khi chưa học đến,đều là BDT đa năng.
15.Bất đẳng thức Bernuli: Chỉ xin đề cập đến dạng cơ bản còn dạng tổng quát để mọi người tự nhớ lại:
Với số mũ tự nhiên;$ \forall a>1, \forall n \in N $ ta có ngay $(1+a)^{n} \leq 1+na $
Với số mũ thực : $ \forall a>1 , \forall r \in Q \in [0;1] \Rightarrow (1+ra)^{r} \leq 1+ra $
$ \forall a>1, \forall r \in Q \notin [0;1] \Rightarrow (1+ra)^{r} \geq 1+ra $.
16.MurihealMình cũng chỉ xin nêu cái tổng quát nhất:
Với mũ số thực:
Cho dãy biến $ X=a_1;a_2;...;a_n \in R+ and \alpha_{1};\alpha_{2};...;\alpha_{n} ;\beta_{1} ;\beta_{2};...;\beta_{n} \in R$
$ S_{X}^\alpha \geq S_{X}^\beta \Leftrightarrow \alpha $ trội hơn $ \beta $.
p/s:Mình không tìm thấy kí hiệu trội hơn trên diễn đàn,mọi người thông cảm cho.
17.Bất đẳng thức Vâyetstrt:Cho $ a_{1};a_{2};...;
\geq 0 and S_{n}=a_{1}+...+ $ Khi đó ta có bất đẳng thức:$ (1+a_{1})(1+a_{2})...(1+
) \geq 1+S_{n} $$ (1-a_{1})(1-a_{2})...(1-
) \geq 1-S_{n} \forall a_{i} \in [0;1] $$ (1+a_{1})(1+a_{2})...(1+
) \leq \dfrac{1}{1-S_{n}} \forall S_{n}<1 $$ (1-a_{1})(1-a_{2})...(1-
) \leq \dfrac{1}{1-S_{n}} \forall S_{n}<1;a_{i} \in [0;1] $.Ngoài ra cũng còn các pp ABC;GLA;... nhưng trình độ còn thấp chưa giám đề cập đến
Một số bất đẳng thức dùng tam thức bậc hai như Aczela ;G.Polya;Abrl;Diaz;Kantorovis ...vv
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 26-02-2010 - 11:21
