Đặt $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=\alpha$.
Ta có: theo định lý hàm số sin
$$AD=\frac{c.\sin(B)}{\sin(B+\alpha)}$$
Tương tự, $BD=\frac{c.\sin(\alpha)}{\sin(B+\alpha)}$
$$\Rightarrow MB= \frac{AB+BD-AD}{2}=\frac{c}{2}.(1+\frac{\sin(\alpha)-\sin(B)}{\sin(\alpha+B)}) =\frac{c}{2}.\left(1+\frac{\sin(\frac{\alpha-B}{2})}{\sin(\frac{\alpha+B}{2})}\right) =c.\frac{\sin(\frac{\alpha}{2}).\cos(\frac{B}{2})}{\sin(\frac{\alpha+B}{2})}$$
Ta biến đổi gần như tương tự thu được:
$$MD=c.\frac{\sin(\frac{\alpha}{2}).\sin(\frac{B}{2})}{\cos(\frac{\alpha+B}{2})}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{MB}+\frac{1}{MD}=\frac{1}{c.\sin(\frac{\alpha}{2})}.\left( \frac{\sin (\frac{\alpha+B}{2})}{\cos(\frac{B}{2})}+\frac{\cos(\frac{\alpha+B}{2})}{\sin(\frac{B}{2})} \right) =\frac{1}{c.\sin(\frac{\alpha}{2})}.\frac{2.\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(B)} =\frac{\cot(\frac{\alpha}{2})}{c.\sin(B)}$$
Cmtt ta có
$$dpcm \Leftrightarrow c. \sin(B) =b. \sin(C)$$
hiển nhiên đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 06-06-2015 - 07:02