Đến nội dung


Hình ảnh

$\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{NE}+\dfrac{1}{NC}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hoacomay

hoacomay

    Tai tờ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 10-07-2005 - 01:48

Cho tam giác $ABC$. Trên $BC$ lấy các điểm $D, E$ sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$. Đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD$ và $ACE$ tiếp xúc BC tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{NE}+\dfrac{1}{NC}$$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-06-2015 - 10:25

Khắp nẻo dâng đầy hoa cỏ may
Áo em sơ ý cỏ găm đầy
Lời yêu mong manh như màu khói
Ai biết lòng anh có đổi thay...

#2 loigiailanhlung

loigiailanhlung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thpt chuyên KHTN Hà Nội
  • Sở thích:Solving a problem in mathematical

Đã gửi 05-06-2015 - 22:32

Đặt $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=\alpha$.
Ta có: theo định lý hàm số sin
$$AD=\frac{c.\sin(B)}{\sin(B+\alpha)}$$
Tương tự, $BD=\frac{c.\sin(\alpha)}{\sin(B+\alpha)}$
$$\Rightarrow MB= \frac{AB+BD-AD}{2}=\frac{c}{2}.(1+\frac{\sin(\alpha)-\sin(B)}{\sin(\alpha+B)}) =\frac{c}{2}.\left(1+\frac{\sin(\frac{\alpha-B}{2})}{\sin(\frac{\alpha+B}{2})}\right) =c.\frac{\sin(\frac{\alpha}{2}).\cos(\frac{B}{2})}{\sin(\frac{\alpha+B}{2})}$$
Ta biến đổi gần như tương tự thu được:
$$MD=c.\frac{\sin(\frac{\alpha}{2}).\sin(\frac{B}{2})}{\cos(\frac{\alpha+B}{2})}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{MB}+\frac{1}{MD}=\frac{1}{c.\sin(\frac{\alpha}{2})}.\left( \frac{\sin (\frac{\alpha+B}{2})}{\cos(\frac{B}{2})}+\frac{\cos(\frac{\alpha+B}{2})}{\sin(\frac{B}{2})} \right) =\frac{1}{c.\sin(\frac{\alpha}{2})}.\frac{2.\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(B)} =\frac{\cot(\frac{\alpha}{2})}{c.\sin(B)}$$
Cmtt ta có
$$dpcm \Leftrightarrow c. \sin(B) =b. \sin(C)$$
hiển nhiên đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 06-06-2015 - 07:02





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh