Chủ đề này có 11 trả lời

[math_freak_hp]

Làm giúp mình mấy bài này với! Xin cảm ơn và hậu tạ!
1)Cho a,b>0 thỏa mãn: $a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}$
Tính giá trị biểu thức: $A=a^{2007}+b^{2008}$
2)Cho a,b,c dương đôi một khác nhau. Tìm GTLN của:
$Q=\dfrac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\dfrac{(b-x)(b-y)}{b(b-c)(b-a)}+\dfrac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$
trong đó x,y>0 luôn thay đổi và x+y=1
3)Tính giá trị biểu thức:$P=\dfrac{(2003^2*2013+31*2004-1)(2003*2008+4)}{2004*2005*2006*2007*2008}$
4)Tìm dư trong phép chia $2008^{2008}$ cho 11
5)Giải phương trình trên tập hợp số nguyên: $2^x+2^y+2^z=1184$ biết x<y<z
6)Cho x>0, y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của $A=(1-\dfrac{1}{x^2})(1-\dfrac{1}{y^2})$
7)Cho các số thực x,y thỏa mãn : |x|<1, |y|<1.
CMR: $|x|+|y| \geq |\dfrac{x+y}{1+xy}|$
8)Cho x,y nguyên dương thỏa mãn x+y=2008. Tìm GTLN và GTNN của
$P=x(x^2+y)+y(y^2+x)$
9)Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Tìm GTLN của$A=\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{3abc}$
10)Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x(x^2+x+1)=4y(y+1)$
Thanks!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_freak_hp: 13-03-2010 - 16:17

[Đặng Văn Sang]

Làm giúp mình mấy bài này với! Xin cảm ơn và hậu tạ!
9)Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Tìm GTLN của$A=\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{3abc}$
Thanks!

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$

[dehin]

Làm giúp mình mấy bài này với! Xin cảm ơn và hậu tạ!
1)Cho a,b>0 thỏa mãn: $a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}$
Tính giá trị biểu thức: $A=a^{2007}+b^{2008}$
9)Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Tìm GTLN của$A=\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{3abc}$
Thanks!

Bài 1:
$a^{101}+b^{101}-(a^{100}+b^{100})=a^{100}(a-1)+b^{100}(b-1)=0 (1) ( theo gt)$
$a^{102}+b^{102}-(a^{101}+b^{101})=a^{101}(a-1)+b^{101}(b-1)=0 (2) ( theo gt) $
Lấy (2) - (1) ,a cho a, b cho b rồi nhóm lại ta được:
$a^{100}(a-1)(a-1)+b^{100}(b-1)(b-1)=0$
$ \Leftrightarrow a^{100}{(a-1)}^2 +b^{100}.{(b-1)}^2 =0 \Rightarrow a=b=1 $ ( Do a,b>0).
Vậy A=1+1=2.
Bài 9) Ta có
$(a+b-c)(b+c-a) \leq \dfrac{{(a+b-c+b+c-a)}^2}{4}=b^2 $
$(b+c-a)(c+a-b) \leq c^2 $
$(a+b-c)(b+c-a) \leq a^2 $
$ \Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc $
Vậy $ A \leq \dfrac{1}{3}.$
Dấu = xảy ra a=b=c.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dehin: 13-03-2010 - 19:34

[dehin]

Bài 6.
Cho a,b>0 , a+b=1/2.
Tìm min $ P=(1-\dfrac{1}{x^2})(1-\dfrac{1}{y^2})$
$ A=\dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^2y^2}=\dfrac{x^2.y^2-(x^2+y^2)+1}{x^2y^2}$
$ x^2+y^2={(x+y)}^2-2xy=1/4-2P $ với P=xy.
$ \Rightarrow A=\dfrac{P^2+2P+3/4}{P^2}=1+\dfrac{2}{P}+\dfrac{3}{4P^2} $
Ta có $ P=xy \leq \dfrac{{(x+y)}^2}{4} =1/16 $
$ \Rightarrow A \geq 1+2*16+3/4 *16^2=225 $

[math_freak_hp]

Bài 3 khá đơn giản, mình làm được rùi nè: để ý tử số là 1 tích có 2 thừa số. Phân tích thừa số thứ nhất ra thành $2005*2006*2008$ bằng cách tách các số ra thành tổng hoặc hiệu. VD:$2003=2005-2;2004=2005-1...$. Còn thừa số thứ 2 thì quá dễ, ta được $2004*2007$. Kết quả cuối cùng ta được $P=1$ (hix, tốn công mình ngồi phân tích cả buổi chiều )

[math_freak_hp]

hix sao chẳng thấy ai vào đây giải vậy cà?

[xuanbach]

Xơi tái bài 1:
<=> $( a^{101} + b^{101} )^{2}=( a^{100} + b^{100} )( a^{102} + b^{102} )$
... <=> $2ab= a^{2} + b^{2} $<=> $a=b=1$
tính tiếp. Thanks cái nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanbach: 16-03-2010 - 17:21

[Nguyễn Thái Vũ]

bài 2 post trong box đại số rồi đó.
Bài 4 xài đồng dư thức rất cơ bản.
Giải tạm bài nghiệm nguyên chưa ai làm.
Khai triển được:
Dễ thấy nghiệm tầm thường x=y=0. Với x và y khác 0 thì:
$x^3+x^2+x=4y^2+4y$ Cộng 1 vào mỗi vế được: $(x^2+1)(x+1)=(2y+1)^2$
Vì x,y là số nguyên nên $(2y+1)^2$ chia 4 dư 1 Suy ra:$(x^2+1)(x+1)$ chia 4 dư 1. Vô lí. suy ra PT vô nghiệm.
Vậy PT có nghiệm duy nhất x=y=0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Thái Vũ: 17-03-2010 - 19:19

[SoNpRo]

bài 2 post trong box đại số rồi đó.
Bài 4 xài đồng dư thức rất cơ bản.
Giải tạm bài nghiệm nguyên chưa ai làm.
Khai triển được:
$x^3+x^2+x=4y^2+4y$ Cộng 1 vào mỗi vế được: $(x^2+1)(x+1)=(2y+1)^2$
Vì x,y là số nguyên nên $(2y+1)^2$ chia 4 dư 1 Suy ra:$(x^2+1)(x+1)$ chia 4 dư 1. Vô lí. suy ra PT vô nghiệm.

Rõ ràng (0;0) là nghiệm đúng mà, sao lại vô nghiệm được ?

[math_freak_hp]

bài 2 post trong box đại số rồi đó.
Bài 4 xài đồ;ng dư thức rất cơ bản.
Giải tạm bài nghiệm nguyên chưa ai làm.
Khai triển được:
$x^3+x^2+x=4y^2+4y$ Cộng 1 vào mỗi vế được: $(x^2+1)(x+1)=(2y+1)^2$
Vì x,y là số nguyên nên $(2y+1)^2$ chia 4 dư 1 Suy ra:$(x^2+1)(x+1)$ chia 4 dư 1. Vô lí. suy ra PT vô nghiệm.

Mình nghĩ đoạn suy luận chia hết của bạn nên làm thế này hay hơn:
Ta có $(x^2+1)(x+1)$ là số chính phương(do y nguyên); $(2y+1)^2$ là số lẻ suy ra $x^2+1$ và $x+1$ là số lẻ.
Lại có ƯCLN$(x^2+1;x+1)=1$
Thật vậy, đặt ƯCLN$(x^2+1;x+1)=p$ (p là số nguyên dương). Có$x+1\vdots p \Rightarrow x^2-1\vdots p \Rightarrow (x^2+1)-(x^2-1)=2 \vdots p$. Mà $x^2+1$ và $x+1$ cùng lẻ nên p=1.
Từ những điều trên suy ra $x^2+1$ và $x+1$ đều là 2 số chính phương. Mà $x^2$ cũng là số chính phương nên suy ra $x=0 \Rightarrow y=0$

[Nguyễn Thái Vũ]

xí nhầm x,y phải khác 0, xét 2 trường hợp ,mình sửa rồi đó.

[math_freak_hp]

ừ nếu bạn làm vậy thì đúng rùi đấy.