Đến nội dung

Hình ảnh

BDT lượng giác


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
xiloxila

xiloxila

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\left(\dfrac{\sin A\sin B}{\sin C}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sin B\sin C}{\sin A}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sin C\sin A}{\sin B}\right)^{2}\geq\dfrac{9}4$



#2
Ho pham thieu

Ho pham thieu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 440 Bài viết

Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\left(\dfrac{\sin A\sin B}{\sin C}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sin B\sin C}{\sin A}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sin C\sin A}{\sin B}\right)^{2}\geq\dfrac{9}4$


Dễ thấy tg ABC ko vuông.

$\left(\dfrac{2\sin A\sin B}{\sin C}\right)^{2}+\left(\dfrac{2\sin B\sin C}{\sin A}\right)^{2}+\left(\dfrac{2\sin C\sin A}{\sin B}\right)^{2}\geq 9$
$\left(\dfrac{cos(A-B)-cos(A+B)}{\sin C}\right)^{2}+\left(\dfrac{cos(B-C)-cos(B+C)}{}{\sin A}\right)^{2}+\left(\dfrac{cos(C-A)-cos(A+C)}{}{\sin B}\right)^{2}\geq \left(\dfrac{1+cosC}{\sin C}\right)^{2}+\left(\dfrac{1+cosA}{}{\sin A}\right)^{2}+\left(\dfrac{1+cosB}{}{\sin B}\right)^{2}=$
$\sum \left(\dfrac{2cos^2\dfrac{A}{2}}{2sin\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{A}{2}}\right)^2=\sum \left(\dfrac{cos\dfrac{A}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}\right)^2=\sum cot^2\dfrac{A}{2}$.
Do $cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{B}{2}+cot\dfrac{C}{2}=cot\dfrac{A}{2}cot\dfrac{B}{2}cot\dfrac{C}{2} \Rightarrow \sum cot^2\dfrac{A}{2}\geq 9 $
Done
Nếu thấy bài viết nào hay thì cách tốt nhất để cám ơn là hãy click vào "nút" thanks cho người đó.
I love football musics.

#3
xiloxila

xiloxila

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
mình có cách này không hay nhưng cũng xài được
đặt $a=cotA; b=cotB;c=cotC$ ta có ngay $ab+bc+ca=1$
bất đẳng thức có thể viết lại
$ \dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2}\geq \dfrac{9}{4(ab+bc+ca)}$
bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức iran năm 96
nên bài toán được chứng minh xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xiloxila: 22-03-2010 - 17:28





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh