Các tính chất thường dùng:
- Số chính phương không tận cùng bằng 2,3,7,8.
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho $p^2$.
- Số chính phương chia cho 3 có số dư 0,1.
- Số chính phương chia cho 4 có số dư 0,1.
- Số chính phương chia cho 8 có số dư 0,1,4.
Ví dụ 1:
Tìm các số nguyên x để $9x+5$ là tích của hai số nguyên liên tiếp.
Giải:
Cách 1:
Giả sử $9x+5=n(n+1)$ với n nguyên thì: $36x+20=4n^2+4n $
$=> 36x+21=4n^2+4n+1$
$=>3(12x+7)=(2n+1)^2$.
Số chính phương $(2n+1)^2$ chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. Ta lại có $12x+7$ không chia hết cho 3 nên $3(12x+7)$ không chia hết cho 9
=> không tồn tại số nguyên x thỏa mãn.
Cách 2: Đưa phương trình cần giải về dạng $n^2+n-(9x+5)=0$
Delta của phương trình bằng $36x+21$, chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương => không tồn tại giá trị x thỏa mãn phương trình.
Tạo ra bình phương đúng
Ví dụ 2:
Giải:
$2x^2+4x=19-3y^2$ (1)
$2(x+1)^2=3(7-y^2)$ (2)Dễ thấy $3(7-y^2)$ phải chia hết cho 2 (do $2(x+1)^2$ chia hết cho 2) nên y là số lẻ.
Do $7-y^2 \geq 0$ nên $y^2$ chỉ có thể bằng 1.
Khi đó (2) có dạng : $2(x+1)^2=18$
Ta được: $x+1=$
$3$. Do đó $x_1=2;x_2=-4$.Các cặp số thỏa mãn là (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1)
Tobe continued
Số 
))))) 
