Chủ đề này có 5 trả lời

[canh_dieu]

Định lý Wilson trong số học phát biểu rằng nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p là số nguyên tố thì http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p). Có thể suy ra được định lý này từ việc đếm số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của nhóm đối xứng http://dientuvietnam...imetex.cgi?S_p. Bạn hãy thử giải thích xem tại sao?

[noproof]

Số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_p bằng http://dientuvietnam...imetex.cgi?(p-2)! thì phải.

(Tính số hoán vị cấp http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p (sau đó chia cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p-1) với nhận xét là một hoán vị có cấp http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p khi và chỉ khi nó là xích độ dài http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p, vì cấp của của một hoán vị bằng bội chung nhỏ nhất của các độ dài các xích của hoán vị này.)

[canh_dieu]

Lời giải của noproof hơi bị súc tích nhỉ .

Có thể giải bài này bằng cách khác, dài hơn và mang dáng dấp của đại số nhiều hơn là tổ hợp. Ý tưởng giống như cách tính số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của nhóm http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của một nhóm G bằng cấp của nhóm thương http://dientuvietnam...metex.cgi?G/N(H), trong đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là một http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow bất kỳ và http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?H.

Lấy http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là một http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow (cấp http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p) của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_p sinh bởi xích (cycle) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(H) của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H, tức là số các hoán vị http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[0,p-1].

Viết cụ thể với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(H) bằng số các hoán vị http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k nào đó thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k=0 không cho một hoán vị nào như vậy.

Với mỗi giá trị của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k từ 1 tới http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-1, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, tương ứng cho ta http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p hoán vị http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(H) là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p(p-1). Do đó số các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_p bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|G/N(H)|=p!/p(p-1)=(p-2)!.

Ai rỗi rãi thử tính số các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{2p} xem sao. Biết đâu lại suy ra được Định lý lớn Fermat

[noproof]

Ai rỗi rãi thử tính số các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...etex.cgi?S_{2p} xem sao. Biết đâu lại suy ra được Định lý lớn Fermat 

Noproof cũng mong như thế nhưng bực quá, mới đánh xong bài này thì lại mất điện, đành phải viết súc tích vậy, hy vọng không nhầm lẫn nhiều.

Tính theo cách của bác canh_dieu, với H là nhóm con p-Sylow (cấp http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^2) sinh bởi 2 xích cấp p giao hoán http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\delta thỏa mãn http://dientuvietnam...gi?2[p(p-1)]^2, số nhóm p-Sylow của http://dientuvietnam...etex.cgi?S_{2p} là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{(2p)!}{2[p(p-1)]^2}.

[canh_dieu]

Sửa lại tí ti. Trong (2) phải là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\delta\tau\delta^{-1}=\sigma^m\tau^n. Đồng thời cần phải giả sử http://dientuvietnam...etex.cgi?S_{np} với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{(np)!}{n![p(p-1)]^n}.

Với nhóm http://dientuvietnam...tex.cgi?S_{p^2} thì http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow sẽ có http://dientuvietnam...tex.cgi?p^{p 1} phần tử, nên cách làm sẽ khác chăng?

[canh_dieu]

Hãy thử tìm cách xây dựng một http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...tex.cgi?S_{p^2} xem sao đã. Lấy ý tưởng từ cách xây dựng 2-nhóm con Sylow của nhóm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_4 của bác bupbebe trong đây http://diendantoanho...?showtopic=2335

Trước hết ta dùng ký hiệuhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{p^2}, trong đó mỗi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A_i là một khối gồm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p phần tử. Gọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là tập con của http://dientuvietnam...tex.cgi?S_{p^2} bao gồm:

1) Các hoán vị http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A_i là một hoán vị vòng quanh của http://dientuvietnam...imetex.cgi?A_i.

Có thể chứng minh được:

i) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H là một nhóm con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{p^2}.

ii) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H gồm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{p+1} phần tử.

Vậyhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{p^2}.

Ghi chú: Gọi một hoán vị vòng quanh của một tập có thứ tự, chẳng hạn, {1,2,3} là một trong các tập {1,2,3}, {2,3,1}, {3,1,2}.