Chủ đề này có 4 trả lời

[Naruto100]

Các anh chị giúp em cách làm bài này với ạ:
$I=\int\cos3x.cos^3xdx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 19-01-2012 - 10:50
title fixed

[dehin]

Ta có
$ c{\rm{os}}3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x = \dfrac{{c{\rm{os}}3x + 3\cos x}}{4}$
$c{\rm{os}}3x.{\cos ^3}x = \dfrac{{{{\cos }^2}3x + 3\cos x\cos 3x}}{4} = \dfrac{1}{4}\left[ {\dfrac{{1 + \cos 6x}}{2} + \dfrac{3}{2}(\cos 4x + \cos 2x)} \right]$
$ = \dfrac{1}{8} + \dfrac{{c{\rm{os}}6x}}{8} + \dfrac{{3\cos 4x}}{8} + \dfrac{{3\cos 2x}}{8}$
$ \Rightarrow \int {c{\rm{os}}3x.{{\cos }^3}xdx = \dfrac{x}{8}} + \dfrac{{\sin 6x}}{{48}} + \dfrac{{3\sin 4x}}{{32}} + \dfrac{{3\sin 2x}}{{16}} + C$

[Naruto100]

Anh/chị có thể giải thích rõ tại sao khi nhân $cos3x.cos^3x$ lại được như trên không ạ, em đã thử khai triển nhưng không ra được vậy?

[dehin]

Ta có
$ c{\rm{os}}3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x = \dfrac{{c{\rm{os}}3x + 3\cos x}}{4}$
$c{\rm{os}}3x.{\cos ^3}x =\cos 3x\dfrac{{\cos 3x + 3\cos x}}{4}=\dfrac{{{{\cos }^2}3x + 3\cos x\cos 3x}}{4} = \dfrac{1}{4}\left[ {\dfrac{{1 + \cos 6x}}{2} + \dfrac{3}{2}(\cos 4x + \cos 2x)} \right]$
Sd CT hạ bậc, phân tích thành tổng: ${\cos ^2}a = \dfrac{{1 + \cos 2a}}{2},\cos a.\cos b = \dfrac{1}{2}[\cos (a + b) - \cos (a - b)] $

[CD13]

Các anh chị giúp em cách làm bài này với ạ:
$I=\int\cos3x.cos^3xdx$

Ta có thể giải không cần sử dụng góc nhân 3, cụ thể:
$\begin{array}{l} {\rm{cos3x}}{\rm{.cos}}^{\rm{3}} x = \cos 3x.\cos x.\left( {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) \\ = \dfrac{1}{4}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right) \\ = \dfrac{1}{4}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) + \dfrac{1}{4}\left( {\cos 4x.\cos 2x + \cos ^2 2x} \right) \\ = \dfrac{1}{4}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) + \dfrac{1}{8}\left( {\cos 6x + \cos 2x + 1 + \cos 4x} \right) \\ = \dfrac{1}{8}\cos 6x + \dfrac{3}{8}\cos 4x + \dfrac{3}{8}\cos 2x + \dfrac{1}{8} \\ \end{array}$
Đến đây giải giống trên