Chủ đề này có 7 trả lời

[Naruto100]

$\int_{2}^{6}\dfrac{dx}{2x+1+\sqrt{4x+1}} $
+ Nếu Đặt $t=\sqrt{4x+1}$, biến đổi 1 hồi được:
$\int_{2}^{6}\dfrac{tdt}{(t+1)^2} $
Đến đây thì làm thế nào nữa ạ?

[dehin]

Tách
$\dfrac{t}{{{{(t + 1)}^2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}[2(t + 1)] - 1}}{{{{(t + 1)}^2}}}$
Chú ý:
$d[{(t + 1)^2}] = 2(t + 1)$
OK.

[Naruto100]

Anh/chị xem hộ em bài này với ạ:
$\int_{-1}^{0}\sqrt{\dfrac{2+x}{2-x}}dx$

Từ đó tổng quát cách đổi biến khi có $\sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}$

[dehin]

Đặt $x = 2\cos 2\alpha \Rightarrow dx = - 4\sin 2\alpha d\alpha $
Đổi cận: $ x = 0 \Rightarrow \alpha = \pi /4,x = - 1 \Rightarrow \alpha = \pi /3$
Ta có $\alpha \in [\pi /4,\pi /3] \Rightarrow \cos \alpha > 0,\sin \alpha > 0$
$\sqrt {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}}} = \sqrt {\dfrac{{2(1 + \cos 2\alpha )}}{{2(1 - \cos 2\alpha )}}} = \sqrt {\dfrac{{2{{\cos }^2}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha }}} = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$
$I = \int\limits_{\pi /4}^{\pi /3} {\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}( - 4)\sin 2\alpha } d\alpha = I = - 8\int\limits_{\pi /4}^{\pi /3} {{{\cos }^2}\alpha } d\alpha = \left. {( - 4\alpha - 2\sin 2\alpha )} \right|_{\pi /4}^{\pi /3}$
Thay cận ra đáp số.
Tổng quát thì cũng đặt tương tự:

[CD13]

Đặt $x = 2\cos 2\alpha \Rightarrow dx = - 4\sin 2\alpha d\alpha $
Đổi cận: $ x = 0 \Rightarrow \alpha = \pi /4,x = - 1 \Rightarrow \alpha = \pi /3$
Ta có $\alpha \in [\pi /4,\pi /3] \Rightarrow \cos \alpha > 0,\sin \alpha > 0$
$\sqrt {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}}} = \sqrt {\dfrac{{2(1 + \cos 2\alpha )}}{{2(1 - \cos 2\alpha )}}} = \sqrt {\dfrac{{2{{\cos }^2}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha }}} = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$
$I = \int\limits_{\pi /4}^{\pi /3} {\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}( - 4)\sin 2\alpha } d\alpha = I = - 8\int\limits_{\pi /4}^{\pi /3} {{{\cos }^2}\alpha } d\alpha = \left. {( - 4\alpha - 2\sin 2\alpha )} \right|_{\pi /4}^{\pi /3}$
Thay cận ra đáp số.
Tổng quát thì cũng đặt tương tự:

Cách khác:
$\begin{array}{l} t = \sqrt {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}}} \Rightarrow x = \dfrac{{2t^2 - 2}}{{t^2 + 1}} \Rightarrow dx = \dfrac{{8t}}{{\left( {t^2 + 1} \right)^2 }}dt \\ I = \int {\dfrac{{8t^2 }}{{\left( {t^2 + 1} \right)^2 }}dt = 4\int {t.\dfrac{{d\left( {t^2 + 1} \right)}}{{\left( {t^2 + 1} \right)^2 }}} = - 4\int {td\left( {\dfrac{1}{{t^2 + 1}}} \right)} } \\ = \dfrac{{ - 4t}}{{1 + t^2 }} + C + 4\int {\dfrac{{dt}}{{t^2 + 1}}} \\ \end{array}$
Đến đây tiểu đệ....pó tay!
Cách giải chung dạng này là vậy, đơn giản!
Cách giải của dehin sẽ khó khăn khi gặp $\int {\sqrt {\dfrac{{x + a}}{{x + b}}} } dx$

[novae]

$\int \dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan x$

[Bác Ba Phi]

$\int \dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan x$

$+C$ nữa chứ bạn, $\int$ mà, hì hì ... Mình bị chép phạt hơn 50 lần vụ này đấy !

[Lê Xuân Trường Giang]

Minh co it Li Thuyet post ch0 moi nguoi xem c0 zui>..

1.$f_{\left( x \right)} = \sqrt {a^2 - x^2 }$ Dat $x = a \times \sin t$ hay $x = a \times \cos t$
2.$f_{\left( x \right)} = \sqrt {x^2 - a^2 } $ Dat $x = \dfrac{a}{{\sin t}}$
3.$f_{\left( x \right)} = x^2 + a^2$ Dat $x = a \times \tan t$
4.$f_{\left( x \right)} = \sqrt {\dfrac{{x - a}}{{x + a}}}$ dat $x = a \times \cos 2t$

Chuc cac ban thanh cong!!!!!!!!!!!!!!!!!