Chủ đề này có 4 trả lời

[inhtoan]

Giải phương trình sau :
$x^2+x-11+3\sqrt{x^3+8}=0$
P/s: Nhìn thì cũng na ná đề ra kì này tháng 4 cho THCS nhưng cách làm thì hoàn toàn khác.

[dehin]

Theo cách cấp 2:
$PT \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^3} + 8} = \dfrac{{45}}{4} - {(x + \dfrac{1}{2})^2}$, $ DK:x \ge - 2$
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của PT
Đặt $f(x) = \dfrac{{45}}{4} - {(x + \dfrac{1}{2})^2}$
+) Xét $x \ge 1,$
$VP \ge 3\sqrt {1 + 8} = 9$
$VT \le \dfrac{{45}}{4} - {(1 + \dfrac{1}{2})^2} = 9$
+) Xét $ - 2 \le x \le 1,$
$0 \le VT \le 3\sqrt {1 + 8} = 9$
Nếu $x \in [\dfrac{{ - 1}}{2},1] \Rightarrow f(1) \le VP \le f( - 1/2) \Rightarrow 9 \le VP \le 45/4$
Nếu $x \in [ - 2,\dfrac{{ - 1}}{2}] \Rightarrow f( - 2) \le VP \le f( - 1/2) \Rightarrow 9 \le VP \le 45/4$
Vậy $ \Rightarrow 9 \le VP \le 45/4$

Kết luận: PT có nghiệm duy nhất x=1

[inhtoan]

Theo cách cấp 2:
$PT \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^3} + 8} = \dfrac{{45}}{4} - {(x + \dfrac{1}{2})^2}$, $ DK:x \ge - 2$
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của PT
Đặt $f(x) = \dfrac{{45}}{4} - {(x + \dfrac{1}{2})^2}$
+) Xét $x \ge 1,$
$VP \ge 3\sqrt {1 + 8} = 9$
$VT \le \dfrac{{45}}{4} - {(1 + \dfrac{1}{2})^2} = 9$
+) Xét $ - 2 \le x \le 1,$
$0 \le VT \le 3\sqrt {1 + 8} = 9$
Nếu $x \in [\dfrac{{ - 1}}{2},1] \Rightarrow f(1) \le VP \le f( - 1/2) \Rightarrow 9 \le VP \le 45/4$
Nếu $x \in [ - 2,\dfrac{{ - 1}}{2}] \Rightarrow f( - 2) \le VP \le f( - 1/2) \Rightarrow 9 \le VP \le 45/4$
Vậy $ \Rightarrow 9 \le VP \le 45/4$

Kết luận: PT có nghiệm duy nhất x=1

Đây cũng là 1 cách, nhưng nó không theo phương pháp mà mình "gửi gắm" vào bài toán...Mọi người thử suy nghĩ cách khác xem.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-04-2010 - 23:04

[falling down]

Dùng BĐT Côsi cho 2 số dương 3 và $ \sqrt{x^3 + 8} $ suy ra $x^3 + 2x^2 + 2x - 5 \geq 0$, phân tích nhân tử suy ra $x \geq 1$. Từ đây đánh giá.

P/S : sr mình ko biết dùng latex "((

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2010 - 21:07

[inhtoan]

Cảm ơn ý kiến của mọi người, theo mình nhận thấy thì mọi người đều dùng pp đánh giá 2 vế . Phương pháp này khá mạnh nhưng ở bài này chỉ cần nhân thêm biểu thức liên hợp.
$x^2 + x - 11 + 3\sqrt {x^3 + 8} = 0$
ĐK: $x \geq -2$.
Với đk trên, pt đã cho tương đương với
$(x^2 + x - 2) + 3(\sqrt {x^3 + 8} - 3) = 0$
$ \Leftrightarrow (x + 2)(x - 1) + \dfrac{{3(x^3 - 1)}}{{\sqrt {x^3 + 8} + 9}} = 0$
$ \Leftrightarrow (x + 2)(x - 1) + \dfrac{{3(x - 1)(x^2 + x + 1)}}{{\sqrt {x^3 + 8} + 9}} = 0$
$ \Leftrightarrow (x - 1)\left( {x + 2 + \dfrac{{3(x^2 + x + 1)}}{{\sqrt {x^3 + 8} + 9}}} \right) = 0$
Vì $x + 2 + \dfrac{{3(x^2 + x + 1)}}{{\sqrt {x^3 + 8} + 9}} > 0,\forall x \ge - 2.$
Do đó phương trình có nghiệm x=1.
p/s: Ý đồ của mình khi "chế" bài này là ta có thể "lợi dụng" đkxd của pt để thu hẹp tập nghiệm của pt.