Đến nội dung


Hình ảnh

Toán học và hiện thực


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 ngocson52

ngocson52

    Kẻ độc hành

  • Founder
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Giang
  • Sở thích:Đọc sách, Chém gió, Ngắm gái xinh

Đã gửi 05-01-2005 - 22:33

Mối quan hệ giữa Toán học và hiện thực là một vấn đề trung tâm (nếu không là vấn đề cơ bản nhất) khi nghiên cứu Triết học của Toán học. Không riêng gì Toán học, mà tất cả các khoa học tự nhiên khác đều phát triển dưới ảnh hưởng trực tiếp của thực tiễn xã hội. Xét về mặt nguồn gốc thúc đẩy sự đi lên của Toán học, có hai nguồn gốc chính: một là ở bên ngoài Toán học, cụ thể hơn đó là yêu cầu phải dùng Toán học để giải các bài toán ở ngoài phạm vi của Toán học, những bài toán của kỹ thuật, của thực tiễn sản xuất,… Hai là, nguồn gốc nội tại của nó. Nguồn gốc này chính là yêu cầu giải thích, hệ thống các sự kiện (tài liệu) đã đạt được, khái quát chúng thành các khái niệm… Nguồn gốc thứ nhất là cái đẻ ra Toán học, còn nguồn gốc thứ hai làm cho nó là một khoa học chứ không phải chỉ đơn thuần là công cụ tính toán. Ở đây ta tạm thời chỉ nói đến nguồn gốc thứ hai đồng thời xét xem toán học có ảnh hưởng lại đến mảnh đất đã sinh ra nó như thế nào.

1. Toán học có nghiên cứu thực tại hay không?
Toán học chắc chắn là một trong các khoa học xuất hiện sớm nhất (nếu không muốn nói trắng ra nó là khoa học đầu tiên theo nghĩa chúng ta hiểu ngày nay). Nó xuất hiện không phải do thời xưa có mấy ông rỗi hơi, không có việc gì làm nên mới ngồi bịa ra các con số, các phép tính để giết thời gian. Toán học nảy sinh do yêu cầu của đời sống kinh tế. Ngay từ buổi đầu tiên, loài người đã có những kiến thức toán học do ảnh hưởng của ngay cả những hoạt động sản xuất sơ khai nhất. Chẳng hạn, để xác định số lượng động vật trong một bầy, số lượng hoa màu thu hoạch được trong một mùa,..., mà này sinh ra phép đếm (do đó làm xuất hiện khái niệm số). Chúng ta có thể thấy điều này qua danh từ ìcalculus” (tính toán) nghĩa là ìđếm bằng đá”, vì ngày xưa người ta thường đếm các đối tượng bằng ngón tay, bằng que, bằng đá,...Phân số xuất hiện do yêu cầu đo lường các đại lượng. Nhu cầu về đo, tính toán diện tích các khu đất, đo các vật thể hình khối, nhà cửa ... cũng làm nảy sinh các phép tính hình học. Ngay cả đến các thời kỳ sau này, chúng ta cũng kể được vô số ví dụ chứng tỏ toán học đã phát sinh (và phát triển) từ hoạt động sản xuất của con người. Ăng-ghen trong [1] đã viết rằng: ìTrước khi đi đến quan niệm rút ra hình trụ từ việc quay tròn một hình chữ nhật xung quanh một cạnh của nó, thì người ta đã phải nghiên cứu một số hình chữ nhật và hình trụ hiện thực, dù là những hình thức rất không hoàn thiện. Cũng như tất cả các khoa học khác, toán học sinh ra từ những nhu cầu thực tiễn của con người: từ việc đo diện tích các khoảng đất và việc đo dung tích của những bình chứa, từ việc tính toán thời gian và từ cơ học” (Xem [1], tr. 59).

Plato đã từng đặt phương pháp toán học ở giữa trí tuệ thuần túy và biểu tượng cảm tính, trí tuệ phải cao hơn vì nó không cần dựa vào các đồ vật cảm tính, đồng thời đối tượng của toán học cũng trừu tượng hơn những hình ảnh cảm tính. Toán học được xây dựng từ những điều mà ta giả định trước (tiên đề) và phương pháp của nó là suy luận từ những tiền đề ấy. Nhưng câu hỏi đặt ra: các tiên đề ấy từ đâu mà có? Plato trả lời: lấy từ thế giới ý niệm (hiểu nôm na là thế giới mà quá khứ của chúng ta đã sống). Để minh chứng điều này, Plato đã lấy một ví dụ như sau: Nhà triết học Socrates (là thày của Plato) yêu cầu một đứa trẻ chưa học toán bao giờ giải một bài toán nhân đôi một hình vuông. Bằng phương pháp của mình (phương pháp hướng vào câu hỏi của Socrates, xin xem thêm bài về Socrares trong box Lịch sử toán học), Socrates đã làm cho đứa bé trả lời đúng. Theo Plato, Socrates chỉ gợi cho đứa bé hồi tưởng lại dần những cái mà cậu đã bị lãng quên từ thế giới ý niệm mà thôi.

Chúng ta sẽ không tranh luận về cái thế giới ý niệm của Plato, vấn đề chúng ta đặt ra là: phải chăng toán học là những tri thức tiên thiên (tiên nghiệm)? Cứ cho là toán học thoạt tiên xuất phát từ thế giới hiện thực đi, nhưng những tư tưởng toán học có phải là những biểu hiện của chân lý khách quan hay là chỉ là những sự suy diễn tùy tiện của trí tuệ con người? Sự phát triển mạnh mẽ của toán học (nhất là sự ra đời của phương pháp tien đề và môn logic toán) khiến cho nhiều người hoài nghi về đối tượng của toán học và những quan hệ mà nó phản ảnh. Hàng chục thế kỷ người ta không thể nào chứng minh được cái điều mà Euclide coi là hiển nhiên (các tiên đề). Cái đó kể cũng vô lý, tại sao những cái nhìn cái thấy ngay là đúng lại không chứng minh được? Và rồi Lobachevsky ìtự ý” thay đổi một tiên đề của Euclide để xây dựng 1 hình học mới cũng không gặp vấn đề gì, Riemann cũng làm như Lobachevsky nhưng theo 1 cách khác, cũng cho ra một thứ hình học mới khác. Hilbert bảo nếu ta coi cái bàn, cái ghế là ìđiểm”, là ìđường thẳng” cũng chẳng sao. Poincaré nói cái gì không mâu thuẫn thì sẽ tồn tại (chứ không phải ngược lại). Chính sự thâm nhập mạnh mẽ của phương pháp toán học vào vật lý học ở cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20 đã làm Vật lý bị khủng hoảng trầm trọng: toán học đã làm cho vật chất mất đi, chỉ có phương trình là ở lại, ... Như vậy toán học nghiên cứu những quan hệ trong thực tại hay là chỉ là phép biến đổi hình thức, tùy tiện trên những ký hiệu của logic hình thức? Chúng ta thử xem mọi người trả lời câu hỏi đó như thế nào.

Chủ nghĩa kinh nghiệm (empiricism) trả lời toán học tuy suy luận trên các ký hiệu nhưng các khẳng định của toán học không phải về các ký hiệu, mà về các đồ vật mà ký hiệu đó biểu diễn. Mỗi ký hiệu đại số biểu diễn những số tùy ý, và ìmỗi định lý hình học là một quy luật của tự nhiên bên ngoài và có thể xác lập bằng con đường tổng quát hóa các quan sát và kinh nghiệm” (1). Chúng ta rất dễ dàng bác bỏ những quan niệm này. Người ta thường nói sự trừu tượng trong toán học rất cao, có những tri thức toán học ta không dễ gì kiểm nghiệm bằng quan sát hay kinh nghiệm (thậm chí là không thể). Hơn nữa những cái thuộc về kinh nghiệm cũng chưa chắc là những tri thức toán học. Chẳng hạn, chúng ta kẻ 3 đường cao trong tam giác và thấy hình như nó đồng quy. Chúng ta có vẽ hàng trăm tam giác khác nhau thì cũng không thể coi sự đồng quy ấy là một định lý, chừng nào nó chưa được chứng minh chặt chẽ, nghĩa là phải chỉ ra rằng nó thật sự là đồng quy chứ không phải kinh nghiệm của chúng ta mách bảo. Những gì chúng ta cảm giác rằng nó đúng thì chỉ là giả thuyết (hypothesis), mọi kết luận suy ra từ kinh nghiệm đều là phép quy nạp không hoàn toàn. Máy tính điện tử có chạy đúng hàng tỷ số tự nhiên thì cũng không khẳng định được Định lý lớn Fermat (Fermat’s Last Theorem) là đúng. Như vậy chủ nghĩa kinh nghiệm đã vấp ngay phải vấn đề tự nó không thể giải quyết được. Đó là sự không đồng nhất giữa một mệnh đề (định lý) toán học với kinh nghiệm cảm tính. Thứ nhất, kinh nghiệm cảm tính luôn phản ánh cái riêng lẻ, cái ngẫu nhiên, còn định lý toán học là sự phản ánh cái chung, cái tất yếu (chú ý nhận thức cảm tính không bao giờ đạt đến cái chung, cái bản chất); thứ hai, sự đúc rút kinh nghiệm luôn là phép quy nạp không hoàn toàn trong khi toán học cần phép quy nạp đầy đủ.

(Còn tiếp)
------------------*-----------------------
[b]Chú thích
(1).Lời của J. S. Mill trong cuốn Hệ thống logic tam đoạn luận và quy nạp (dẫn theo [2]. Mill (1806-1873) là nhà triết học, kinh tế học người Anh, một trong những đại biểu rất nổi tiếng của chủ nghĩa thực chứng (cũ). Cuốn sách mà [2] dẫn nguyên văn là A System of Logic, Ratiocinative and Inductive, xuất bản năm 1843).
Sống trong đời sống cần có một túi tiền.
Để làm gì em biết không?
Để gái nó theo, để gái nó theo... :D

#2 ngocson52

ngocson52

    Kẻ độc hành

  • Founder
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Giang
  • Sở thích:Đọc sách, Chém gió, Ngắm gái xinh

Đã gửi 05-01-2005 - 22:34

Sự ra đời của phương pháp tiên đề đánh dấu một bước phát triển quan trong trong toán học. Toán học được ìhình thức hóa” bằng các tiên đề. Toán học dường như bị quy về logic học, ngay cả Triết học cũng có nguy cơ bị quy về logic toán. Đó là tham vọng của chủ nghĩa logic (logicism). Người đề xướng chủ nghĩa này là nhà toán học, logic học tài ba B. Russell. (Russell và Godel là hai nhà logic lớn nhất thế kỷ 20 không cần phải bàn cãi). Theo Russell, toàn bộ toán học có thể quy về logic không có nội dung vật chất, trong đó những tiên đề toán học là những nguyên lý logic tiên thiên (có trước kinh nghiệm, không phụ thuộc vào kinh nghiệm). (2)
Thật ra người ta từ lâu người ta đã nghĩ các mệnh đề toán học vốn trống rỗng, không hề có nội dung vật chất. Nó hoàn toàn là sản phẩm của trí tuệ loài người chứ không biểu hiện gì về chân lý khách quan cả. Plato đã từng coi toán học xuất phát từ những cái ở thế giới bên kia; Aristote cũng sáng tạo ra logic hình thức theo đúng nghĩa, là việc chúng ta thu được những tri thức mới từ những tiền đề nhất định được suy diễn một cách ìhình thức” (theo phương pháp tam đoạn luận) bất kể nội dung của nó thế nào; còn Euclide thì hoàn toàn bằng phương pháp suy diễn trên những tiền đề nhất định mà vẫn xây dựng được một thứ hình học hoàn chỉnh; Lobachevsky khi tạo ra hình học phi Euclide cũng không tìm được một mô hình phù hợp với nó, người ta chỉ thấy nó trái hẳn với kinh nghiệm thông thường nhưng lại không tìm được mâu thuẫn nào trong cách xây dựng của ông. Như vậy có phải là trong toán học cái gì không mẫu thuẫn thì sẽ tồn tại (như H. Poincaré, D. Hilbert quan niệm)?

Chúng ta đều biết phương pháp tiên đề dựa trên một tính chất rất quan trọng là tính không mâu thuẫn (cùng với tính đầy đủ, tính độc lập)(3). Hilbert đã tìm cách chứng minh rằng, xuất phát từ những tiền đề nhất định chúng ta sẽ không đi đến những kết luận ngược đời nhau. Nếu chứng minh được điều này, thì việc toán học có thể quy về logic học như Russell (và những người theo logicism) nói là điều không cãi vào đâu được. Và nếu điều này là đúng thì hóa ra toán học chỉ là trò chơi chữ thuộc vào loại ìxịn” mà thôi, và con cháu chúng ta sẽ có nguy cơ phải học nhiều thứ toán học khác nhau (vì lúc ấy ta xây dựng toán học thế nào mà chẳng được, chỉ cần thay đổi tiền đề của nó đi là xong). Đó sẽ là một cuộc cách mạng lớn nhất trong toán học. Nhưng thật may là lịch sử toán học có từ hàng năm vẫn được giữ nguyên. Russel muốn xây dựng lại toán học trên các khái niệm của logic học thuần túy nhưng lại vấp phải khó khăn do chính những nghịch lý của ông về lý thuyết tập hợp, tạo ra. Hilbert thì bị siêu định lý của Godel làm cho công cốc. Định lý không hoàn hảo (incompleteness theorem – còn gọi là Định lý bất toàn) của Godel (4) bảo rằng bất kỳ hệ logic nào cũng không thể nào tự chứng minh được là nó có mâu thuẫn hay không, nghĩa là mọi hệ logic đều ìkhông hoàn hảo”. Chẳng hạn, muốn chứng minh tính không mẫu thuẫn của hình học phi Euclide, ta phải dựa vào hình học Euclide, rồi tính mâu thuẫn của hình học Euclide lại quy về tính không mâu thuẫn của số học, ... Chứng minh của Godel đã làm phá sản luôn chủ nghĩa hình thức của Hilbert lẫn chủ nghĩa logic của Russell, quan trọng hơn nó khẳng định rằng toán học chỉ có thể dựa vào hiện thực mới ìsống” được, bất cứ ai cũng không thể tạo ra một thứ toán học mới một cách tùy tiện cho riêng mình. Và, giả sử một ngày nào đó, bỗng dưng loài người phát hiện ra một hành tinh khác y chang như Trái Đất thân yêu này, thì chắc chắn, chúng ta hoàn toàn có thể hiểu được toán học của họ trong lúc đi bằng hai chân chứ không cần phải lộn người lên.

(Còn tiếp)
Sống trong đời sống cần có một túi tiền.
Để làm gì em biết không?
Để gái nó theo, để gái nó theo... :D

#3 ngocson52

ngocson52

    Kẻ độc hành

  • Founder
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Giang
  • Sở thích:Đọc sách, Chém gió, Ngắm gái xinh

Đã gửi 05-01-2005 - 22:36

2. Thực tiễn có là tiêu chuẩn để kiểm nghiệm các chân lý toán học?

Thực tiện không chỉ là cơ sở của nhận thức, mà còn là hòn đá thử vàng cho các chân lý khoa học. Những cuộc cách mạng trong khoa học thường gắn với yêu cầu về kỹ thuật của thời đại, của thực tiễn sản xuất. Nếu xã hôi nảy ra nhu cầu về kỹ thuật, thì nhu cầu đó sẽ ìđẩy khoa học tiến lên mạnh hơn cả chục trường đại học” (Ăng-ghen). Quan niệm các con số thống trị thế giới của Pythagore cũng là do đặc điểm kinh tế thời ấy là việc trao đổi hàng hóa chỉ chú trọng đến mặt lượng mà không để ý đến giá trị của hàng hóa; chế độ nô lệ coi con người như vật thể vật lý, đồ vật vật chất nên toán học cổ của Hy lạp chủ yếu là hình học. Toán học phát triển triển mạnh kể từ sau thời Phục hưng cũng là do quan hệ sản xuất tư bản chủ nghĩa phát triển mạnh, sự phát triển ngành hàng hải, các cuộc đi biển yêu cầu phải nghiên cứu thiên văn mà thiên văn thì phải có toán học mới phát triển được Sự phát triển của thành thị, nhu cầu xây dựng những công trình lớn (cả nhu cầu về hàng hải và chiến tranh nữa) đã làm cho cơ học phát triển theo và lại kéo theo sự phát triển của toán học. Việc dùng máy móc trong sản xuất hồi thế kỷ XVII đã ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của KHTN (C. Mác khi nghiên cứu về kinh tế của CNTN đã viết rằng việc dùng máy móc hồi thế kỷ XVII, đã đem lại cho các nhà toán học vĩ đại thời bấy giờ những chỗ dựa thực tế và những sự kích thích để sáng lập ra cơ học hiện đại). Chính những yêu cầu của môn thiên văn học và cơ học thế kỷ XVII đã đề ra nhiệm vụ cấp bách tạo ra phép tính vi – tích phân. v.v...
Theo C. Mác, ìvấn đề tìm hiểu xem tư duy con người có đạt tới chân lý khách quan hay không, hoàn toàn không phải là một vấn đề lý luận, mà là một vấn đề thực tiễn. Chính trong thực tiễn mà con người phải chứng minh chân lý, nghĩa là chứng minh tính hiện thực, sức mạnh, tính bên này của tư duy. Sự bàn cãi về tính hiện thực hay tính không hiện thực của tư duy tác rời thực tiễn là một vấn đề thuần túy kinh viện” (Theo [3], tr. 490). Toán học không tách rời thực tiễn nhưng tính chính xác của các chân lý toán học có kiểm nghiệm được trong thực tiễn hay không? Mục đích cuối cùng của mọi khoa học đều là nghiên cứu để rồi cải tạo tự nhiên, nếu toán học không thể kiểm chứng trong tự nhiên, chẳng hóa ra nó chỉ là thú vui của các nhà toán học hay sao?
Chúng ta đều biết đến tính hiển nhiên của nhiều tiên đề, định lý toán học, nhưng thật ra, nó gây ra nghi ngờ và không đòi hỏi phải chứng minh gì, chỉ là vì chúng luôn luôn được toàn bộ hoạt động thực tế của loài người xác nhận. Định lý hình học phát biểu 3 đường cao trong 1 tam giác là đồng quy nhưng khi vẽ ra chúng ta lại không thấy thế thì định lý ấy cần phải xem xét lại. Tuy nhiên nhiều khi chúng ta không dễ gì kiểm nghiệm các chân lý toán học bằng kinh nghiệm. Ngay như tiên đề về hai đường thẳng song song, chúng ta cũng không thể nào kiểm tra được: chúng ta làm sao kiểm tra được khi hai đường thẳng ấy được kéo ra vô hạn, luc đó nó có cắt nhau hay không? Gauss đã từng lấy 3 ngon núi cách xa nhau để kiểm tra tổng của 3 góc trong tam giác nhưng cũng không thấy gì khác so với khẳng định của Euclide. Rõ ràng chúng ta phải sử dụng những phương pháp gián tiếp để kiểm nghiệm. Đó là giả định cái điều ấy là đúng, bằng phương pháp suy luận logic, chúng ta sẽ đi đến các hệ quả (định lý) dễ kiểm nghiệm hơn. Như vậy con đường khép kín ìthực nghiệm – lý thuyết – thực nghiệm” trong toán học không hề đơn giản, cái tính chất gắn liền với sản xuất thực tiễn không không rõ ràng như trước nữa, vì sự thực là nó còn có nguyên nhân nội tại nữa. Nói cái gì của toán học cũng là từ thực tiễn là nói liều, và hạ thấp chính bản thân môn toán: tính độc lập tương đối của toán học không những là tồn tại, mà nó còn rõ ràng hơn các khoa học khác nhiều. Chúng ta cũng nên nhớ sức mạnh của phương pháp suy diễn thuần túy: nếu xuất phát từ những tiền đề đúng đắn, phương pháp suy luận chính xác thì chúng luôn thu được những kết quả phù hợp với thực tế. Đối tượng của toán học ngày càng trừu tượng nhưng xét một cách tổng thể thì chúng lại gần với hiện thực và phản ánh hiện thực phong phú, toàn diện (điều này thì toán học cổ điển không thể có được). ìTư duy, khi tiến từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, không xa rời chân lý, mà đến gần chân lý. Những sự trừu tượng về vật chất, về quy luật tự nhiên, sự trừu tượng về giá trị, v.v..., tóm lại, tất cả những sự trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ảnh giới tự nhiên sâu sắc hơn, chính xác hơn, đầy đủ hơn.” (Theo [4], tr. 179).
Điểm lưu ý cuối cùng, không nên hiểu thực tiễn như một cái gì chết cứng, nó cũng thay đổi cùng với sự phát triển của (nhận thúc) con người. Đồng thời tiêu chuẩn thực tiễn cũng mang tính tương đối, đó là nó không bao giờ khẳng định hay phủ nhận hoàn toàn bởi bất kỳ quan niệm nào của con người. Chính con người, trên con đường chinh phục và cải tạo thực tiễn, phải làm cho các quan niệm ấy ngày càng ìthực tiễn” hơn.


Chú thích
(2) Việc Russell quy những nguyên lý về số tự nhiên về nguyên lý của sự phân tích logic hơi phức tạp nên tôi không đưa ra đây. Khi nào có điều kiện, tôi sẽ viết (hoặc) dịch 1 vài bài viết về Russell để mọi người hiểu rõ hơn. Tạm thời mọi người có thể xem tiểu sử Russell bằng tiếng Anh tại đây: http://www-history.m...ns/Russell.html.
(3) Xin xem thêm bài giới thiệu về phương pháp tiên đề của bác VNMaths ở trong box ìNhững điều lý thú trong toán học”
(4) Xem bài ìNhà toán học lớn nhất thể kỷ XX” trong box Lịch sử Toán học

(Vẫn còn) http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/image001.gif http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif
-------------------------------------*------------------------------------
[size=16]Các tài liệu trích dẫn
1. Ph. Ăng-ghen: ìChống Đuy-rinh” và ìBiện chứng của tự nhiên” trong C. Mác và Ph. Ăng-ghen toàn tập, tập 20, Nxb Chính trị Quốc gia, 1994.
2. G. I. Ruzavin, A. Nưsanbaev, G. Shliakhin: Một số quan điểm Triết học trong Toán học, Nxb Giáo dục, 1983.
3. C. Mác: Luận cương về Phơ-bách, trong C. Mác và Ph. Ăng-ghen tuyển tập, tập I, Nxb Sự thật, 1980.
[b]4. V. I. Lenin:
Bút ký triết học, Trong V. I. Lenin Toàn tập, tập 29, Nxb Tiến bộ Mát-xcơ-va, 1981.
Sống trong đời sống cần có một túi tiền.
Để làm gì em biết không?
Để gái nó theo, để gái nó theo... :D




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh