CMR: sin2 A +sin2 B +sin2 C>= 8sin A/2sinB/2sinC/2[cosA/2cosB/2+cosB/2cosC/2+cosC/2cosA/2]
CMR : sin A/2 +sin B/2 +sin C/2 < cos A/2 +cos B/2 +cos C/2
CMR : sinA+sinB+sinC>= 12nhân căn 3 . sin A/. sinB/2. sinC/2
__________________
lượng nữa nè
Bắt đầu bởi mileycyrus, 28-04-2010 - 18:11
#1
Đã gửi 28-04-2010 - 18:11
If u don't get a miracles
BECOME ONE !
BECOME ONE !
#2
Đã gửi 29-04-2010 - 23:02
Bài 3
$\sin A + \sin B + \sin C \ge 12\sqrt 3 \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}$
$\Leftrightarrow 4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2} \ge 12\sqrt 3 \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}$
$\Leftrightarrow \cot \dfrac{A}{2}\cot \dfrac{B}{2}\cot \dfrac{C}{2} \ge 3\sqrt 3$ ( bdt đúng)
$Q.E.D$
$\sin A + \sin B + \sin C \ge 12\sqrt 3 \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}$
$\Leftrightarrow 4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2} \ge 12\sqrt 3 \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}$
$\Leftrightarrow \cot \dfrac{A}{2}\cot \dfrac{B}{2}\cot \dfrac{C}{2} \ge 3\sqrt 3$ ( bdt đúng)
$Q.E.D$
#3
Đã gửi 29-04-2010 - 23:45
Bài 2
_Với tam giác $ABC$ nhọn ta có bất đẳng thức tương đương:
$\sum {\sin \dfrac{A}{2}} < \sum {\cos \dfrac{A}{2}}$
$\Leftrightarrow \sum {\left( {\cos \dfrac{A}{2} - \sin \dfrac{A}{2}} \right)} > 0$
$\Leftrightarrow \sum {\sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} > 0$
Bdt đúng vì $0 < A,B,C < \dfrac{\pi }{2}$
$\to \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4},\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4},\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{\pi }{2}$
$\to \cos \left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right),\cos \left( {\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right),\cos \left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0$
_Với tam giác $ABC$ vuông (giả sử vuông tại $A$) thì bdt ở trên trở thành :
$0 + \cos \left( {\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0$
Bdt đúng vì góc $B$ và góc $C$ nhọn
_Với tam giác $ABC$ tù (giả sử tại $A$)
Khi góc $A$ tiến tới $\pi$ thì góc $B$ và góc $C$ tiến tới $0$.
Nên góc $\left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$ tiến tới $\dfrac{{3\pi }}{4}$ và góc $\left( {\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$, góc $\left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$ tiến tới $\dfrac{\pi }{4}$
Do đó: $ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} < \cos \left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) < 0$ và $\cos \left( {\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) > \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
Suy ra $\sum {\sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} > 0$
$Q.E.D$
_Với tam giác $ABC$ nhọn ta có bất đẳng thức tương đương:
$\sum {\sin \dfrac{A}{2}} < \sum {\cos \dfrac{A}{2}}$
$\Leftrightarrow \sum {\left( {\cos \dfrac{A}{2} - \sin \dfrac{A}{2}} \right)} > 0$
$\Leftrightarrow \sum {\sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} > 0$
Bdt đúng vì $0 < A,B,C < \dfrac{\pi }{2}$
$\to \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4},\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4},\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{\pi }{2}$
$\to \cos \left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right),\cos \left( {\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right),\cos \left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0$
_Với tam giác $ABC$ vuông (giả sử vuông tại $A$) thì bdt ở trên trở thành :
$0 + \cos \left( {\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0$
Bdt đúng vì góc $B$ và góc $C$ nhọn
_Với tam giác $ABC$ tù (giả sử tại $A$)
Khi góc $A$ tiến tới $\pi$ thì góc $B$ và góc $C$ tiến tới $0$.
Nên góc $\left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$ tiến tới $\dfrac{{3\pi }}{4}$ và góc $\left( {\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$, góc $\left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$ tiến tới $\dfrac{\pi }{4}$
Do đó: $ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} < \cos \left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) < 0$ và $\cos \left( {\dfrac{B}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) > \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
Suy ra $\sum {\sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} > 0$
$Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhung_2811: 29-04-2010 - 23:56
#4
Đã gửi 30-04-2010 - 00:22
Bài 1
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \ge 8\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}.\sum {\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}}$
Thế góc $A = {1^0}$, $B = {2^0}$ và $C = {177^0}$
$LHS = 1.2751*{10^{ - 4}}$ và $RHS = 1.2815*{10^{ - 3}}$
Bdt này sai !
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \ge 8\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}.\sum {\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}}$
Thế góc $A = {1^0}$, $B = {2^0}$ và $C = {177^0}$
$LHS = 1.2751*{10^{ - 4}}$ và $RHS = 1.2815*{10^{ - 3}}$
Bdt này sai !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhung_2811: 30-04-2010 - 10:17
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh