Bài 1
Đề bài có vấn đề chút xíu rồi. Đề đúng là:
Tam giác $ABC$ thỏa mãn $a\left( {1 - 2\cos A} \right) + b\left( {1 - 2\cos B} \right) + c\left( {1 - 2\cos C} \right) = 0$ thì tam giác $ABC$ đều
$a\left( {1 - 2\cos A} \right) + b\left( {1 - 2\cos B} \right) + c\left( {1 - 2\cos C} \right)$
$=\left( {a + b + c} \right) - 2\sum {a\cos A}$
$= \left( {a + b + c} \right) - 2\sum {\dfrac{{a{b^2} + a{c^2} - {a^3}}}{{2bc}}}$
$= \left( {a + b + c} \right) - \sum {\dfrac{{{a^2}{b^2} + {a^2}{c^2} - {a^4}}}{{abc}}}$
$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) - \left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)}}{{abc}}$
$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{4{b^2}{c^2} - {{\left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)}^2}}}{{abc}}$
$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {2bc - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {2bc + {a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}}$
$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]}}{{abc}}$
$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{abc}}$
Biểu thức ban đầu $= 0$ nên
$\left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{abc}} = 0$
$\Leftrightarrow abc = \left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)$
Ta lại chứng minh được bất đẳng thức:
$abc \ge \left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)$
với $a$, $b$, $c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.
Dấu $ "=" $ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều
$Q.E.D$
Edited by minhhung_2811, 01-05-2010 - 10:24.