1) chỉ cần xét chiều biến thiên trên $\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)$, suy ra $x>\sin x$ trên $\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)$
còn trên $\left[ \dfrac{\pi}{2};\infty \right)$ thì $x>1\geq \sin x$
2) hiển nhiên $f'(x)=\cos x-1$ thỏa mãn $f'(x)\leq 0$ và $f'(x)=0$ tại hữu hạn điểm
Theo mình bước 1 nếu xét đạo hàm trên khoảng $(0; +\infty) $ cũng được nhưng có lẽ tác giả cuốn sách đấy muốn dùng định lí "Giả sử $f(x) $ có đạo hàm trên khoảng I, nếu $f'(x) \geq 0 $ với mọi $x \in I$ và $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I" cho bước 2 nên đã giới hạn khoảng $(0;+ \infty)$ thành khoảng $(0; \dfrac{\pi}{2})$.
Còn đây là cách giải theo cách xét đạo hàm trên khoảng $(0;+ \infty)$.
Xét hàm số $f(x)= sinx-x$ trên nửa khoảng $[0; +\infty)$, ta có$f'(x)=cosx-1 \leq 0, \forall x \in (0; +\infty)$ ,
Và $f'(x)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos x = 1 \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 2k\pi ,\,\,k \in N^* $.
Vì $f(x)$ liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right]$, $k\in N^*$ và $f'(x) >0 $ với mọi x thuộc khoảng $\left( {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right)$, $k \in N^*$ nên $f(x)$ đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {2k\pi ;2(k + 1)\pi } \right]$, $k \in N^*$. Do đó hàm số đồng biên trên $[0; +\infty)$. Khi đó, ta có $f(x) > f(0) =0 $ với mọi $x >0.$