Bài số 1:
Trên các cạnh của một tam giác đều ABC, cho 6 điểm : http://dientuvietnam...mimetex.cgi?AB. Các điểm này là các đỉnh của một hình lục giác lồi http://dientuvietnam...A_2B_1B_2C_1C_2 có độ dài của các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng là đồng quy.
Bài 1 IMO 2005
Bắt đầu bởi VNMaths, 14-07-2005 - 14:46
#1
Đã gửi 14-07-2005 - 14:46
#2
Đã gửi 14-07-2005 - 22:16
Dựng tam giác đều http://dientuvietnam...ex.cgi?A_1A_2I. Trước hết các bạn chứng minh http://dientuvietnam...tex.cgi?C_1B_2I cũng là tam giác đều. Từ đó suy ra :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M là giao diểm của http://dientuvietnam...etex.cgi?A_2B_2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_1C_1
Suy ra thẳng hàng (đpcm )
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M là giao diểm của http://dientuvietnam...etex.cgi?A_2B_2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_1C_1
Suy ra thẳng hàng (đpcm )
The only way to learn mathematics is to do mathematics
#3
Đã gửi 15-07-2005 - 09:38
Chú ý là tổng các vectơ http://dientuvietnam...etex.cgi?B_2C_1,bằng 0. Mà các vectơ này có độ dài bằng nhau nên chúng đôi một hợp nhau là 60 độ...
Ghé thăm blog nhé:
http://360.yahoo.com/steppe2205
http://360.yahoo.com/steppe2205
#4
Đã gửi 26-09-2005 - 17:18
[quote name='VNMaths' date='Jul 14 2005, 02:46 PM'] Bài số 1:
Trên các cạnh của một tam giác đều ABC, cho 6 điểm : http://dientuvietnam...mimetex.cgi?AB. Các điểm này là các đỉnh của một hình lục giác lồi http://dientuvietnam...A_2B_1B_2C_1C_2 có độ dài của các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{AB_2DC_1} nội tiếp.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{AB_1C_2}
Vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{C_1C_2A_2B_1} nội tiếp.
Đến đây ta có 2 hướng giải:
1) Ta có tứ giác http://dientuvietnam...gi?C_1C_2A_2B_1 nội tiếp mà http://dientuvietnam...i?A_2B_1=C_1C_2 nên nó là hình thang cân với đáy C1B1.
Mà ta lại có B2 thuộc trung trực của B1C1 và Á thuộc trung trực của A2C2 nên A1B2 là trung trực của C1B1.
CMTT ta có B1C2 là trung trực của C1A1; C1A2 là trung trực của A1B1. Mà trong tam giác A1B1C1 thì 3 trung trực đồng quy. (đpcm)
2) Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{(A_1A_2B_2C_1)} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{(B_1B_2C_2A_1)}
Vậy A1B2, B1C2, C1A2 đồng quy.
Trên các cạnh của một tam giác đều ABC, cho 6 điểm : http://dientuvietnam...mimetex.cgi?AB. Các điểm này là các đỉnh của một hình lục giác lồi http://dientuvietnam...A_2B_1B_2C_1C_2 có độ dài của các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{AB_2DC_1} nội tiếp.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{AB_1C_2}
Vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{C_1C_2A_2B_1} nội tiếp.
Đến đây ta có 2 hướng giải:
1) Ta có tứ giác http://dientuvietnam...gi?C_1C_2A_2B_1 nội tiếp mà http://dientuvietnam...i?A_2B_1=C_1C_2 nên nó là hình thang cân với đáy C1B1.
Mà ta lại có B2 thuộc trung trực của B1C1 và Á thuộc trung trực của A2C2 nên A1B2 là trung trực của C1B1.
CMTT ta có B1C2 là trung trực của C1A1; C1A2 là trung trực của A1B1. Mà trong tam giác A1B1C1 thì 3 trung trực đồng quy. (đpcm)
2) Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{(A_1A_2B_2C_1)} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{(B_1B_2C_2A_1)}
Vậy A1B2, B1C2, C1A2 đồng quy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrMATH: 07-10-2005 - 21:02
Tỏ ra mình hơn người chưa phải là hay. Cái chân giá trị là phải tỏ rằng ngày hôm nay mình đã hơn chính mình ngày hôm qua.
(Tục ngữ Ấn Độ).
(Tục ngữ Ấn Độ).
#5
Đã gửi 02-10-2005 - 21:22
Laoshero làm ơn sửa lại hướng giải 1 em ko đọc được !
#6
Đã gửi 29-07-2012 - 23:03
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh