Chủ đề này có 1 trả lời

[prodrat]

Chứng minh dùm các định lí sau:
1. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp.
2. i. Nếu A, B là các ma trận cấp mxn thì rank(A+B) rankA+rankB
ii. Nếu A là ma trận cấp mxn, B là ma trận cấp nxp thì rank (AB) min{rankA,rankB}
iii. Nếu A là ma trận cấp mxn, X là ma trận khả nghịch cấp n, Y là ma trận khả nghịch cấp m thì rankA=rank(AX)=rank(YA)
3. Cho A, B là ma trận cấp mxn. Nếu A đồng dạng với B thì rankA = rankB

[vuthanhtu_hd]

Chứng minh dùm các định lí sau:
1. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp.
2. i. Nếu A, B là các ma trận cấp mxn thì rank(A+B) rankA+rankB
ii. Nếu A là ma trận cấp mxn, B là ma trận cấp nxp thì rank (AB) min{rankA,rankB}
iii. Nếu A là ma trận cấp mxn, X là ma trận khả nghịch cấp n, Y là ma trận khả nghịch cấp m thì rankA=rank(AX)=rank(YA)
3. Cho A, B là ma trận cấp mxn. Nếu A đồng dạng với B thì rankA = rankB

Gợi ý
Câu 1 thì áp dụng các hệ thức quen biết chỉ ra các phép biến đổi không làm thay đổi tính khác không hay bằng không của các định thức con của một ma trận -> không làm thay đổi hạng ma trận

Câu 2.i
Giả sử A,B là các ma trận cấp $m \times n$ và $f: V \rightarrow W$
$g: V \rightarrow W$ là các ánh xạ tuyến tính nhận A,B là các ma trận biểu diễn
(V,W là các không gian n,m chiều)

$rank(A+B) =dim((f+g)V)=dim(f(V)+g(V))$
$=dim(f(V)+dimg(V)-dim(f(V) \cap g(V))$

$\le dim(f(V)+dimg(V)=rank(A)+rank(B)$

ii.Mỗi dòng của $AB$ biểu diễn tuyến tính qua các dòng của $B$
Mỗi cột của $AB$ biểu diễn tuyến tính qua các cột của $A$
nên $rank(AB) \le rank(A)$ ; $rank(AB) \le rank(B)$ .Ta có đpcm
iii.Áp dụng các BĐT về hạng của ma trận

3.Vì $A,B$ đồng dạng nên có thể viết
$A=Q^-1B.Q$
$B=P^-1.A.P$
Áp dụng BĐT ở trên dễ suy ra $rank(A) \le rank(B)$ và $rank(B) \le rank(A)$
Suy ra đpcm