Chủ đề này có 3 trả lời

[gOdDeSs^^07051807]

Tìm số thực M nhỏ nhất sao cho với mọi x,y (0;+ ) thỏa mãn bất đẳng thức

$xy(x+y) \leq M[x^2+y^2+(x+y)^2+1]^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gOdDeSs^^07051807: 26-08-2010 - 15:29

[NightBaron]

Tìm số thực M nhỏ nhất sao cho với mọi x,y (0;+ ) thỏa mãn bất đẳng thức

$xy(x+y) \leq M[x^2+y^2+(x+y)^2+1]^2$

Do $[x^2+y^2+(x+y)^2+1]^2>0, \forall x,y>0$ nên:

$xy(x+y) \leq M[x^2+y^2+(x+y)^2+1]^2$

$\Leftrightarrow L=\dfrac{xy(x+y)}{[x^2+y^2+(x+y)^2+1]^2}\leq M$

Đặt $a=x+y, b=xy\Rightarrow a^2\ge 4b>0$. Ta có:

$L=\dfrac{ab}{(2a^2-2b+1)^2}\leq \dfrac{a.\dfrac{a^2}{4}}{(2a^2-\dfrac{a^2}{2}+1)^2}=f(a)$

Xét $f(a)=\dfrac{a^3}{(3a^2+2)^2}/(0; +\infty)$.

$f'(a)=\dfrac{2a^2(2-3a)(2+3a)}{(3a^2+2)^2}\Rightarrow f(a)=0\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow f(a)$ đồng biến trên $(0;\dfrac{2}{3})$ và nghịch biến trên $(\dfrac{2}{3};+\infty)$

Do đó: $f(a)\leq f(\dfrac{2}{3})=\dfrac{1}{54}$.

Từ trên suy ra:

$Min M=\dfrac{1}{54}$.

Đẳng thức khi chỉ khi $a=\dfrac{2}{3}, b=\dfrac{a^2}{4}$ hay $x=y=\dfrac{1}{3}$

Vậy $MinM=\dfrac{1}{54}$. Đt khi chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{3}$.

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 27-08-2010 - 20:33

[shootstar]

Do $[x^2+y^2+(x+y)^2+1]^2>0, \forall x,y>0$ nên:

$xy(x+y) \leq M[x^2+y^2+(x+y)^2+1]^2$

$\Leftrightarrow L=\dfrac{xy(x+y)}{[x^2+y^2+(x+y)^2+1]^2}\leq M$

Đặt $a=x+y, b=xy\Rightarrow a^2\ge 4b>0$. Ta có:

$L=\dfrac{ab}{(2a^2-2b+1)^2}\leq \dfrac{a.\dfrac{a^2}{4}}{(2a^2-\dfrac{a^2}{2}+1)^2}=f(a)$

Xét $f(a)=\dfrac{a^3}{(3a^2+2)^2}/(0; +\infty)$.

$f'(a)=\dfrac{2a^2(2-3a)(2+3a)}{(3a^2+2)^2}\Rightarrow f(a)=0\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow f(a)$ đ?#8220;ng biến trên $(0;\dfrac{2}{3})$ và nghịch biến trên $(\dfrac{2}{3};+\infty)$

Do đó: $f(a)\leq f(\dfrac{2}{3})=\dfrac{1}{54}$.

Từ trên suy ra:

$M\geq L\geq \dfrac{1}{54]$.
Đẳng thức khi chỉ khi $a=\dfrac{2}{3}, b=\dfrac{a^2}{4}$ hay $x=y=\dfrac{1}{3}$

Vậy $MinM=\dfrac{1}{54}$. Đt khi chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{3}$.

$\Rightarrow Q.E.D$

hình như chỗ này ngược dấu thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shootstar: 27-08-2010 - 18:36

[NightBaron]

hình như chỗ này ngược dấu thì phải

Minh sua lai rui do!