24 replies to this topic

[CD13]

Mình xin hỏi bài này lần nữa (vì hỏi lâu mà không có ai trả lời)
Giải phương trình: $3^x = x^3$
Cám ơn trước!

[hp9570]

Hướng giải chung: Xét $x \in (- \infty ;0)$ thì phương trình vô nghiệm. Vì $ lim 3^x=0$ và $x^3<0 $
Xét x=0 không thỏa mãn.
Xét $x \in (0;+ \infty )$. Dùng đạo hàm chứng minh phương trình chỉ có 2 nghiệm. Nhẩm thấy x=3 và x=2.47805268 thỏa mãn
( Đay là cách mình đi hỏi được thôi )

[CD13]

Hướng giải chung: Xét $x \in (- \infty ;0)$ thì phương trình vô nghiệm. Vì $ lim 3^x=0$ và $x^3<0 $
Xét x=0 không thỏa mãn.
Xét $x \in (0;+ \infty )$. Dùng đạo hàm chứng minh phương trình chỉ có 2 nghiệm. Nhẩm thấy x=3 và x=2.47805268 thỏa mãn
( Đay là cách mình đi hỏi được thôi )

Chắc có lẽ cũng phải giải vậy thôi, mình cũng đã hỏi "ông kẹ" Magus và chỉ được trả lời vẻn vẹn x = 3 rồi đến giờ.....bặt tin luôn!
Cám ơn bạn dù đã nhấn nút Thank!

[PTH_Thái Hà]

Hướng giải chung: Xét $x \in (- \infty ;0)$ thì phương trình vô nghiệm. Vì $ lim 3^x=0$ và $x^3<0 $
Xét x=0 không thỏa mãn.
Xét $x \in (0;+ \infty )$. Dùng đạo hàm chứng minh phương trình chỉ có 2 nghiệm. Nhẩm thấy x=3 và x=2.47805268 thỏa mãn
( Đay là cách mình đi hỏi được thôi )

Nghiệm thứ 2 có thể đưa ra công thức chính xác ko?

[novae]

chỉ có thể đưa ra công thức qua các hàm siêu việt

[CD13]

chỉ có thể đưa ra công thức qua các hàm siêu việt

Chắc có lẽ bài này kết thúc ở đây! Mình không thể tìm được nghiệm đúng thứ hai
________________________

Thân

[L_Euler]

Bài này hướng đi tương tự với bài toán $2^x=x^2$ là dùng Lambert's Function.

Các bạn có thể tham khảo lời giải của bài toán $2^x=x^2$ ở http://www.artofprob...v...38&t=242609 .

Best regards.

Edited by L_Euler, 05-09-2010 - 12:04.

[CD13]

Bài này hướng đi tương tự với bài toán $2^x=x^2$ là dùng Lambert's Function.

Các bạn có thể tham khảo lời giải của bài toán $2^x=x^2$ ở http://www.artofprob...v...38&t=242609 .

Best regards.

Bài $x^2 = 2^x$ thì có nghiệm x = 2; x = 4 Nhưng bài này thì chỉ tìm ra được nghiệm x = 3 thôi còn nghiệm đúng kia.......bó tay! Hai bài khác nhau ở chỗ đó đấy bạn ạ!
Thân

[L_Euler]

Bài $x^2 = 2^x$ thì có nghiệm x = 2; x = 4 Nhưng bài này thì chỉ tìm ra được nghiệm x = 3 thôi còn nghiệm đúng kia.......bó tay! Hai bài khác nhau ở chỗ đó đấy bạn ạ!
Thân

Problem: Cho phương trình $2^x=x^2$. Không dùng "phương pháp nhẩm nghiệm dễ thấy", hãy giải phương trình đó.

Câu hỏi tương tự cho bài toán $3^x=x^3$.

Remark: Phương trình $2^x=x^2$ có 3 nghiệm.

@ongtroi: Ý mình muốn nói là hãy chỉ ra một phương pháp tường minh để tìm các nghiệm của phương trình trên chứ không phải là "dễ thấy". OK?

Best,

Edited by L_Euler, 05-09-2010 - 13:04.

[novae]

vấn đề tổng quát là giải ptr $a^x=x^a$ với $a\in\mathbb{R}^+$

[CD13]

Problem: Cho phương trình $2^x=x^2$. Không dùng "phương pháp nhẩm nghiệm dễ thấy", hãy giải phương trình đó.

Câu hỏi tương tự cho bài toán $3^x=x^3$.

Remark: Phương trình $2^x=x^2$ có 3 nghiệm.

@ongtroi: Ý mình muốn nói là hãy chỉ ra một phương pháp tường minh để tìm các nghiệm của phương trình trên chứ không phải là "dễ thấy". OK?

Best,

Đúng là khó thật, tự dưng nhảy ra nghiệm như vậy ongtroi không thể nghĩ ra được. Hình như L_Euler cũng có tham gia trên diễn đàn đó nữa thì phải!
Cám ơn

[CD13]

Với lại bạn cho mình hỏi luôn phép biến đổi:
$\begin{array}{l} \left( { - \dfrac{2}{{\ln 2}}W\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \right)^2 = 2^{ - \dfrac{2}{{\ln 2}}W\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \\ \Leftrightarrow \left( { - e^{ - W\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} } \right)^2 = 2^{ - \dfrac{2}{{\ln 2}}W\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \\ \end{array}$

Là vì sao vậy ạ?
___________________________________

Thân

Edited by ongtroi, 05-09-2010 - 15:12.

[hp9570]

Có thể đưa ra công thức tính nghiệm thứ hai được. Nhưng đó là một vấn đề khó

[L_Euler]

Với lại bạn cho mình hỏi luôn phép biến đổi:
$\begin{array}{l} \left( { - \dfrac{2}{{\ln 2}}W\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \right)^2 = 2^{ - \dfrac{2}{{\ln 2}}W\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \\ \Leftrightarrow \left( { - e^{ - W\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} } \right)^2 = 2^{ - \dfrac{2}{{\ln 2}}W\left( {\dfrac{{\ln 2}}{2}} \right)} \\ \end{array}$

Là vì sao vậy ạ?
___________________________________

Thân

Lưu ý cái tính chất của hàm Lambert: Denote $ W(x) =\sum^{\infty}_{n = 1}\dfrac{(-1)^{n}n^{n-2}}{(n-1)!}x^{n} $. Then $ W(x) e^{W(x)}=x $.

Best,

[hp9570]

Giống như vấn đề giải phương trình bậc năm tổng quát là không thể nhưng trong một số trường hợp riêng thì hoàn toàn giải được. Mình nghĩ bài này cũng thế. Có ai nghĩ được cách giải phương trình tổng quát $a^x=x^a$ không?

[chuyentoan]

Kinh khủng quá anh ơi. Em đọc chẳng hiểu cái gì cả anh ạ. Híc

Cái này phổ thông không có học. Hàm Lambert là hàm mà thỏa mãn tính chất là L_Euler nói đến, nó không chỉ được thực hiện trên tập số thực mà còn được ứng dụng vào nhiều "chỗ" khác. Trên tập số thực thì hàm Lambert có khai triển thành chuỗi như L_Euler nói đến.

[hungpro2246]

luôn có 1 nghiệm x = a. chỉ có thế

[novae]

em đọc trên Mathworld thấy định nghĩa ngược lại, xác định hàm $W(x)$ sao cho $W(x).e^{W(x)}=x$ rồi mới đưa ra khai triển chuỗi như trên

[hp9570]

Phương trình $3^x=x^3$ có hai nghiệm mà bạn hungpro?