Chủ đề này có 8 trả lời

[Đỗ Quốc Huân]

$ a) sin^{4} x + sin^{4} ( \dfrac{x}{2}+\dfrac{ \pi }{8} ) + cos^{4} x= \dfrac{1}{2}sin^{2}2x $
$ b) cosx+3cos3xcos5x=4 $

[Đỗ Quốc Huân]

Hình như bài a vô nghiệm đúng ko ạ?

[h.vuong_pdl]

Hai bài cũng khá hay:
Bài 1) để ý chỗ $sin^22x = 4.sin^2x.cos^2x$
do đó $pt <=> (sin^2x - cos^2x)^2 + sin^4(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{8}) = 0$
=> xảy ra đồng thời 2 biểu thức bình phương bằng 0 => ta có hệ:
$ sin^2x = cos^2x(1) \\ sin(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}=0 (2) $
chú ý giải (2) ta được họ nghiệm duy nhất : $x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi$ mà nghiệm này thỏa mãn cũng là nghiệm của (1) nên nó là nhọ nghiệm duy nhất của pt ???
Bài 2) $VT \le 4$ hiển nhiên là vì $cos a \le |cosa| \le 1$, như vậy pt tương đương với 2TH sau:
TH1: $cosx = 1 \\ cos3x = cos5x =1 $
giải hệ này ta được nghiêm : $x= k2\pi$
TH2) $cosx=1 \\ cos3x = cos5x = -1 $
tương tự => giải ra vô nghiệm ???

p/s: điều đáng nói + chú ý ở 2 bài tập trên chính là sử dụng thành thạo + chính xác kĩ thuật hợp nghiệm ??? điều này đc minh họa rất rõ ràng ở vd2 (mình cũng chưa được thành thạo lắm nên có sai chỗ nào mong mọi người giúp đỡ ???)

++) thêm một bài tập tương tự khá thú vị :
$(cos2x - cos4x)^2 = 5 + sin3x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 29-08-2010 - 12:45

[tranhuy_157]

cách giải bài 2 như trên 0 hợp lí vì ta chưa biết dấu của cos3xvàcos5x
Bài 2 nên giải thế này:
pt cosx + 3/2cos8x +3/2cos2x = 4
do cosx ,cos8x ,cos2x =< 1
=> VT =<4
Vậy pt<=> cosx=1,cos8x=1,cos2x=1.
từ đó tìm được các nghiệm.

[CD13]

++) thêm một bài tập tương tự khá thú vị :
$(cos2x - cos4x)^2 = 5 + sin3x$

Dễ thấy $(cos2x - cos4x)^2 = 4sin^23x.sin^2x \le 4 \le VP$
đến đây ok

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 29-08-2010 - 17:06

[novae]

cách giải bài 2 như trên 0 hợp lí vì ta chưa biết dấu của cos3xvàcos5x
Bài 2 nên giải thế này:
pt cosx + 3/2cos8x +3/2cos2x = 4
do cosx ,cos8x ,cos2x =< 1
=> VT =<4
Vậy pt<=> cosx=1,cos8x=1,cos2x=1.
từ đó tìm được các nghiệm.

hoàn toàn đúng vì $-1\le \cos 3x, \cos 5x\le 1$ nên $-1\le \cos 3x. \cos 5x\le 1$

[CD13]

cách giải bài 2 như trên 0 hợp lí vì ta chưa biết dấu của cos3xvàcos5x
Bài 2 nên giải thế này:
pt cosx + 3/2cos8x +3/2cos2x = 4
do cosx ,cos8x ,cos2x =< 1
=> VT =<4
Vậy pt<=> cosx=1,cos8x=1,cos2x=1.
từ đó tìm được các nghiệm.

dù cho dấu cos3x.cos5x như thế nào thì 3cos3xcos5x 3 thôi bạn nhé!

[h.vuong_pdl]

@tranhuy: lời giải của mình không hề sai bạn à, hiển nhiên $cosa \le |cosa| \le 1 => cos3xcos5x \le 1$ ??
(giả sử mà có cos3x và cos5x trái dấu thì tích => bé thua 0 <1 rồi, còn cùng dấu thì tích đương nhiên ????)

p/s: Mong bạn xem xét kĩ trước khi đưa ra nhận xét ????

ah, xét 2 cách giải trên thì ta có thấy:
+) cách của bạn dùng thêm công thức cộng, nhưng sau đó thì gọn hơn, chỉ cần xét 1 TH.
+) cách của mình bước đầu tuy không cần dùng thêm gì nhưng sau đó phải xét 2 TH.
vì bài này cũng không quá phức tạp nên cách nào thì cũng thế ?????

[inhtoan]

@tranhuy: lời giải của mình không hề sai bạn à, hiển nhiên $cosa \le |cosa| \le 1 => cos3xcos5x \le 1$ ??
(giả sử mà có cos3x và cos5x trái dấu thì tích => bé thua 0 <1 rồi, còn cùng dấu thì tích đương nhiên ????)

Vậy thì lí luận như thế này cho dễ hiểu ý của bạn...nếu không bạn viết tắt quá làm mình cũng khó hiểu
$3\cos 3x\cos 5x \le 3|\cos 3x\cos 5x|$
Mà $3|\cos 3x||\cos 5x| \le 3$
Do đó $3\cos 3x\cos 5x \leq 3$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \cos 3x = 1 \\ \cos 5x = 1 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \cos 3x = - 1 \\ \cos 5x = - 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$