Đến nội dung

Hình ảnh

Dựng hình chỉ bằng compa

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#1
queensland

queensland

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
Thước thẳng là không cần thiết. Người ta đã giải được bài toán chỉ dùng compa dựng giao điểm của 2 đường thẳng cho trước phân biệt, trong đó một đường thẳng được cho bởi hai điểm phân biệt của nó. Như vậy hình nào dựng được bằng thước thẳng và compa thì cũng dựng được chỉ bằng compa.

#2
nguyen_hung

nguyen_hung

    Đại lãn

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Hình như Queensland nói hơi phiến diện.
Những hình dựng các đường thẳng thì tất nhiên phải dựng bằng cả thước thẳng chứ !
Queensland có thể đưa chứng minh đó ra không ?

Thế thước thẳng ấy có thể uốn cong được ko?
Nếu có uốn được thì có thể chia 3 một cung được --> chia 3 một góc được 

Thế này mà gọi là thước thẳng àh.

Thêm 1 bài toán dựng hình nữa nhé, dựng hình 7 cạnh đều trong mặp phẳng. Bài này mình suy ra từ hoa văn hình sao 14 cánh đều trên trống đồng Đông Sơn hay Ngọc Lũ đó. Chứng tỏ cha ông mình ngày xưa rất là giỏi, vì bài này không dựng được chỉ bằng compa và thứơc thẳng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen_hung: 11-07-2005 - 02:50


#3
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết

Thước thẳng là không cần thiết. Người ta đã giải được bài toán chỉ dùng compa dựng giao điểm của 2 đường thẳng cho trước phân biệt, trong đó một đường thẳng được cho bởi hai điểm phân biệt của nó. Như vậy hình nào dựng được bằng thước thẳng và compa thì cũng dựng được chỉ bằng compa.

Mình chỉ nghe đến bài toán dựng trung điểm của 2 điểm cho trước chỉ bởi compa, còn bài toán của bạn mình chưa nghe đến :pi . Nhưng cho mình hỏi: thế còn dựng giao điểm của đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước và 1 đường tròn có dựng được chỉ bằng compa không??
The only way to learn mathematics is to do mathematics

#4
queensland

queensland

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
@nguyen_hung: ok, để mình định nghĩa rõ hơn. Một đường thẳng được cho bằng hai điểm phân biệt của nó; một đoạn thẳng được cho bằng hai điểm đầu của nó; một hình đã cho nghĩa là đã dựng.

Về cách dựng giao điểm của hai đường thẳng bằng compa, mình được đọc trong một quyển sách giáo khoa hình học, lâu ngày nên mình đã quên rồi, nhưng điều này là chắc chắn. :pi

@chuyentoan: bạn nhắc nhở rất đúng. Phải giải được cả bài dựng giao điểm của một đường thẳng với một đường tròn nữa thì mới có thể kết luận. Bài này giải được, nhưng mình không nhớ là đã được đọc cách dựng hay chưa nữa! :D

Phép dựng hình bằng compa thường được biết đến dưới tên gọi "Mohr-Mascheroni constructions". (Nguồn http://www.cut-the-k.../compass.shtml)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi queensland: 11-07-2005 - 07:57


#5
nguyen_hung

nguyen_hung

    Đại lãn

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Mình chỉ nêu thêm thí dụ thôi. Thí dụ 1 đường tròn được cho bởi 3 điểm, người ta dựng được đường tròn đó chỉ bằng compa không ?

#6
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
Nói tóm lại là nếu queensland cho rằng mọi bài toán giải được bằng thước thẳng và compa thì giải được chỉ bằng compa là một sai lầm :pi. Tất nhiên kiến thức của mình không đủ để chứng minh cho bạn nhưng mình chắc chắn là như thế :D
The only way to learn mathematics is to do mathematics

#7
queensland

queensland

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
@nguyen_hung: Tâm đường tròn dựng bởi giao điểm của hai đường trung trực. Một đường trung trực dựng bởi cặp giao điểm của hai đường tròn. Mình không thấy gì đặc biệt trong bài dựng đường tròn đi qua 3 điểm.

@chuyentoan: Mình nói dựng hình là dựng các điểm đặc biệt của hình, chẳng hạn như dựng tam giác nghĩa là dựng 3 đỉnh của nó, v.v... Dùng thước thẳng và compa có thể dựng được giao điểm của 2 đường thẳng, 2 đường tròn, đường thẳng với đường tròn. Chỉ dùng compa cũng dựng được như thế (điều này mình không chỉ ra được chứng minh, xem như giả thiết đi). Kết luận là thước thẳng + compa tương đương với compa. Lập luận như thế sai ở chỗ nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi queensland: 11-07-2005 - 18:06


#8
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
Sai hoàn toàn
The only way to learn mathematics is to do mathematics

#9
Alligator

Alligator

    Sĩ quan

  • Founder
  • 428 Bài viết

Sai hoàn toàn

chuyentoan nên có thêm các lập luận hỗ trợ và làm rõ ý kiến của mình, không thể phủ nhận ý kiến khác đơn giản như vậy được.
Chủ đề tranh luận này rất hay, mời các bạn tiếp tục. :)
<span style='color:blue'>Roses are red,
violets are blue,
Fermat is dead,
but his theorem is true.
</span>

#10
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
Lập luận của bạn chỉ mới là một dự đoán. Giống như phép Quy nạp ấy, có thể đúng cho 1, 2, 3, nhưng chưa hẳn đã đúng với mọi n. Mình không thể dùng suy luận Logic chặt chẽ để chứng minh rằng bạn sai, nhưng theo mình không thể dùng compa thay thế được thước thẳng và compa.
The only way to learn mathematics is to do mathematics

#11
hdt4151

hdt4151

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
1. Hãy dùng thước kẻ và compa chia góc 19 độ thành 19 phần = nhau ?
2. Như câu trên, chia góc 7 độ thành 7 phần = nhau ?

< Chia 3 1 góc = compa và thước kẻ là ko thể được, các trường hợp trên là góc đặc biệt nên có thể chia được> ^ ^

#12
queensland

queensland

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
Khi dùng thước thẳng với compa, phép dựng đường thẳng khi đã có hai điểm phân biệt của nó chỉ hoàn thành sau khi ta đã đặt bút kẻ đường thẳng ấy -1-, phép dựng đường tròn khi đã có tâm và một điểm của nó chỉ hoàn thành sau khi ta đã dùng compa quay hết đường tròn -2-. Vì hình dựng rõ ràng như thế nên việc dựng giao điểm của hai hình đã dựng là hiển nhiên. Hiển nhiên đến mức phép dựng giao điểm của hai đường thẳng chỉ được Euclid phát biểu khá mập mờ trong tiên đề thứ 5 của ông -3-, còn phép dựng giao điểm của hai đường tròn, giao điểm của đường thẳng với đường tròn thì, thậm chí, không được phát biểu mà được dùng một cách nghiễm nhiên trong các định lý, chẳng hạn -4, 5-. Lần này để tránh bị phê bình là thiếu chặt chẽ, mình cẩn thận viết thêm rằng hai phép dựng đường và ba phép dựng giao điểm nói trên là đủ trong mọi bài toán dựng hình với thước và compa.

Khi bỏ thước thẳng chỉ dùng compa, ta không thể dựng được đường thẳng, phép dựng giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường thẳng với đường tròn cũng vì thế mà mất tính hiển nhiên, nhưng không vì thế mà không thực hiện được.

Có thể coi như bài toán dựng một đoạn thẳng AB (hay đường thẳng) có tính chất này nọ là đã giải xong một cách thỏa đáng khi ta đã dựng được điểm A và điểm B. Những câu thống thiết đại loại như

"Dùng thước thẳng, nối điểm A với điểm B."

là thuần túy hình thức và thực tế chẳng bao giờ cần phải viết vào bài giải.

Điều đó giải thích tại sao khi chỉ dùng compa, mặc dù không thể dựng được đường thẳng, nhưng bốn phép dựng hình còn lại vẫn đủ để giải một cách thỏa đáng các bài toán dựng hình như trước.

Câu trên có thể xem như chứng minh cho một định lý. Trong bốn phép dựng còn lại có hai phép không còn hiển nhiên khi chỉ dùng compa và vì thế đòi hỏi chứng minh, nhưng điều đó chẳng ảnh hưởng gì tới tính đúng của định lý cả. Hì hì, nói lại lần nữa theo cách khác này: bốn phép dựng đó là giả thiết của định lý và nếu chẳng may (chẳng may thôi nhé!) giả thiết không thỏa thì định lý trở thành vô dụng, nhưng không thể trở thành "sai hoàn toàn" được.

Mình không hình thức hóa các phép dựng hình bằng bộ tiên đề cho thước thẳng và cho compa, nhưng mình nghĩ rằng lập luận như trên là... cũng tạm ổn rồi. :)


Lịch sử và tư liệu

Tính giải được của các bài toán dựng hình với thước thẳng và compa khi vứt bỏ thước thẳng chỉ dùng compa được Georg Mohr (Đan Mạch) chứng minh năm 1672, và độc lập với ông, Lorenzo Mascheroni (Ý) cho một chứng minh rõ ràng hơn năm 1797 -5b-. Một phần chứng minh của Mascheroni được trình bày trong quyển sách hình học không nhớ tên (mình thật có lỗi với tác giả!) đã nhắc đến trong post trước. Về ý tưởng thì như mình đã nói ở trên, là chỉ ra cách dựng cho bốn phép dựng hình cơ bản. Về kỹ thuật, bổ đề quan trọng nhất là phép dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư. Một chứng minh khác, ý tưởng vẫn thế nhưng kỹ thuật đơn giản hơn, với hai bổ đề quan trọng là dựng điểm nghịch đảo qua đường tròn và dựng đường tròn đi qua ba điểm, được Jakob Steiner (Đức, gốc Thụy Sỹ) trình bày năm 1828. Chi tiết của chứng minh này có thể xem tại -6-.

Chính Steiner là người năm 1833 đã chứng minh một giả thuyết từ năm 1822 của Jean-Victor Poncelet (Pháp), cũng rất hay về lý thuyết, nói về tính giải được của các bài toán dựng hình với thước thẳng và compa khi vứt bỏ compa chỉ dùng thước thẳng, miễn là có một đường tròn và tâm của nó -7-. Mong rằng câu mình tiện mồm nói thêm này không khơi ra thêm một cuộc tranh luận nữa. :Rightarrow Post này không thể tránh lặp lại các ý mình đã post trước. Xin các bạn miễn thứ cho cái tội.... lải nhải. :Rightarrow

--------------------------------
-1- Euclid: Cơ bản, quyển I, định đề 1.
-2- Euclid: sđd, quyển I, định đề 3.
-3- Euclid: sđd, quyển I, định đề 5.
-4- Euclid: sđd, quyển I, khẳng định 1.
-5- Euclid: sđd, quyển I, khẳng định 2.
-5b- Nhiều tác giả: Wikipedia, Mohr-Mascheroni theorem. http://en.wikipedia....cheroni_theorem
-6- David E. Joyce: Compass Geometry. http://aleph0.clarku...e/java/compass/
-7- Nhiều tác giả: Wikipedia, Poncelet-Steiner theorem. http://en.wikipedia....Steiner_theorem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi queensland: 18-07-2005 - 23:20


#13
queensland

queensland

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Đúng thật là có 2 phát biểu sau:
+ Có thể giải mọi bài toán dựng hình chỉ bằng thước thằng.
+ Có thể giải mọi bài toán dựng hình chỉ com pa nếu cho trước 1 đường tròn và bán kính của nó.

Mình nghĩ là 2 câu này nên sửa một chút thì mới chính xác. Không phải mọi bài toán, mà chỉ những bài toán giải được bằng thước và compa thôi. Với lại đường tròn và bán kính của nó cần cho định lý "chỉ dùng thước thẳng" chứ không cần cho định lý "chỉ dùng compa".

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi queensland: 14-07-2005 - 07:23


#14
nguyen_hung

nguyen_hung

    Đại lãn

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
To Qeensland
Ý mình không rõ ràng nên bạn có thể hiểu lầm.
Ở trên bạn nói chỉ dùng compa, mình lười không nhắc lại. Ý mình là dựng tâm đường tròn đi qua 3 điểm cho trước chỉ dùng compa.

#15
Alligator

Alligator

    Sĩ quan

  • Founder
  • 428 Bài viết
Câu hỏi của nguyen_hung

... Ý mình là dựng tâm đường tròn đi qua 3 điểm cho trước chỉ dùng compa.


Mình nghĩ queensland đã giải thích khá rõ ở trang trước rồi:

... Một đường thẳng được cho bằng hai điểm phân biệt của nó; một đoạn thẳng được cho bằng hai điểm đầu của nó; một hình đã cho nghĩa là đã dựng.

Về cách dựng giao điểm của hai đường thẳng bằng compa, mình được đọc trong một quyển sách giáo khoa hình học, lâu ngày nên mình đã quên rồi, nhưng điều này là chắc chắn. :geq


Giả sử cần dựng tâm O của đường tròn đi qua ba điểm A, B, và C mà chỉ dùng compa không dùng thước thẳng.

O là giao điểm hai đường trung trực của AB và BC.
Trung trực của AB được cho bằng 2 điểm {D, E} dựng bằng compa (mà không có đường thẳng kẻ bằng thước thẳng qua hai điểm đó vì không có thước). Tương tự, trung trực của BC được cho bằng 2 điểm {F, G}.

Vấn đề ở đây là cả hai trung trực đều không được biểu diễn bằng đường thẳng thật sự mà chỉ có các cặp điểm "đại diện" {D, E} và {F, G} thôi nên việc dựng giao điểm của chúng là không thấy được một cách hiển nhiên. Nhưng queensland đã khẳng định là có phương pháp dựng được giao điểm này chỉ bằng compa từ 2 cặp điểm {D, E} và {F, G} cho trước ở trên.
Mình cũng chưa biết về cách dựng hình này, nếu queensland có thể tìm lại được cách dựng ấy thì xin đưa lên, chắc mọi người sẽ thấy rất thú vị.
<span style='color:blue'>Roses are red,
violets are blue,
Fermat is dead,
but his theorem is true.
</span>

#16
hdt4151

hdt4151

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
Hơ, ko ai giải được à ??

#17
Alligator

Alligator

    Sĩ quan

  • Founder
  • 428 Bài viết
:geq Dựng góc 1 độ là được chứ gì.
Mẹo của mấy bài này mình nghĩ là nhiều người biết, nhưng không nói ra thôi, để dành cho bạn nào chưa biết suy nghĩ cho vui chứ :leq
<span style='color:blue'>Roses are red,
violets are blue,
Fermat is dead,
but his theorem is true.
</span>

#18
queensland

queensland

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Mình cũng chưa biết về cách dựng hình này, nếu queensland có thể tìm lại được cách dựng ấy thì xin đưa lên, chắc mọi người sẽ thấy rất thú vị.

Có 2 cách dựng; cách của Mascheroni dựa vào đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư, xem -9- (nguồn mới bổ sung); cách của Steiner hay hơn, dựa vào phép nghịch đảo, xem -6-.

Cách dựng đường tròn qua 3 điểm nhờ phép dựng giao điểm của hai đường thẳng, mà mình trả lời cho bạn nguyen_hung (được Alligator giải thích rõ hơn sau đó) theo Mascheroni. Còn theo Steiner thì ngược lại, phép dựng đường tròn đi qua 3 điểm là bổ đề, nhờ đó dựng giao điểm của hai đường thẳng.


Tiện đây mình tóm lược vài ý chính trong -6--9-. Chỉ có lời, còn hình vẽ thì các bạn chịu khó vào đó xem nhá.


A. Cách của Steiner
---- trích lược dịch Compass Geometry của tác giả David E. Joyce, Clark University -----

1. Hình học Eclid có 3 phép dựng điểm, ta sẽ gọi tắt là CC, LL, LC:

CC Dựng giao điểm của hai đường tròn, mỗi đường tròn đi qua một điểm cho trước và có tâm là một điểm cho trước.

LL Dựng giao điểm của hai đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

LC Dựng giao điểm của đường thẳng với đường tròn, trong đó đường thẳng được cho như LL, đường tròn được cho như CC.


2. Khi chỉ dùng compa, phép dựng CC là hiển nhiên. Còn phép dựng LL và LC dính líu đến đường thẳng. Nhưng có thể biến đường thẳng thành đường tròn nhờ một phép biến hình. Đó là phép nghịch đảo.

Ta sẽ dùng hai phép dựng điểm phụ: PC và CN.

PC Dựng điểm nghịch đảo của điểm cho trước qua một đường tròn cho bởi tâm và bán kính.

CN Dựng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm cho trước.

Nhờ hai phép dựng phụ này ta có thể thực hiện được LL và LC. Thật vậy, chỉ cần một đường tròn lớn ở ngoài tất cả các điểm cho trước, dùng PC nghịch đảo tất cả các điểm đã cho vào trong đường tròn lớn. Biết rằng qua phép nghịch đảo này mọi đường tròn và đường thẳng (tiền ảnh) đều biến thành đường tròn (ảnh) -8-, giao điểm của hai tiền ảnh biến thành giao điểm của hai ảnh tương ứng. Vậy bước tiếp theo là dùng CN dựng tâm của các ảnh, dùng CC dựng giao điểm của chúng, rồi dùng PC dựng lại tiền ảnh của các giao điểm đó là xong.


3. và 4. lược bỏ.

5. Phép PC (dựng điểm nghịch đảo qua đường tròn). Điểm P' nghịch đảo của một điểm cho trước P qua một đường tròn cho trước tâm O, bán kính OA, mà ta sẽ ký hiệu là đường tròn (O, A), được dựng như sau. Trường hợp P ở ngoài đường tròn hoặc ở trong đường tròn nhưng cách xa O hơn 1/2 bán kính, dựng đường tròn (P, O) cắt (O, A) tại hai điểm Q, R. Hai đường tròn (Q, O) và (R, O), ngoài điểm O ra sẽ cắt nhau tại một điểm thứ hai, đó là P'.

Trường hợp P ở cách O không quá 1/2 bán kính, trên tia OP dựng điểm R sao cho OR = n*OP > 1/2 bán kính, n là số tự nhiên đủ lớn. (Đây là phép "nhân đoạn thẳng n lần", tương tự có thể nói đến phép "chia đoạn thẳng n lần". Cả hai phép dựng hình này đều thực hiện dễ dàng bằng compa.) Điểm R' nghịch đảo của R theo cách trên. Cuối cùng nhân đoạn OR' lên n lần, được điểm P'.


6. Phép CN (dựng đường tròn đi qua ba điểm). Tâm O của đường tròn đi qua ba điểm P, Q, R cho trước được dựng như sau. Mọi phép nghịch đảo sẽ được thực hiện qua đường tròn (P, Q). Dựng điểm R' nghịch đảo của R. Hai đường tròn (Q, P) và (R', P), ngoài điểm P ra chúng sẽ cắt nhau ở một điểm thứ hai gọi là O'. Điểm nghịch đảo của O' là O.


7. lược bỏ.


B. Cách của Mascheroni
---- dựa theo Mascheroni and Steiner constructions của Tom Rike, Berkeley University ----

Ta vẫn dùng ký hiệu LC, LL như trên. Ta sẽ sử dụng các phép dựng phụ là:

(1) Dựng điểm đối xứng với một điểm cho trước qua đường thẳng cho trước.
(2) Nhân đoạn thẳng n lần.
(3) Chia đôi cung tròn.
(4) Dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư.


Phép (1), (2) dễ dàng, xin miễn trình bày.

Phép (3). Cặp trung điểm F, G của cặp cung tròn cho bởi tâm O và hai điểm đầu A, B được dựng như sau. Dựng hai hình bình hành OBAC, OABD. Hai đường tròn (C, B), (D, A) cắt nhau, gọi một trong hai giao điểm là E. Hai đường tròn (C, E), (D, E) cắt nhau tại F và G.

Phép LC. Giao điểm C, D của đường thẳng AB cho trước với đường tròn (O, r) cho trước được dựng như sau. Dựng O' đối xứng với O qua đường thẳng AB. Nếu O' = O, trên đường tròn (O, r) chọn tùy ý một điểm P. Dựng Q đối xứng với P qua AB. Để ý rằng Q cũng nằm trên đường tròn (O, r). Chia đôi cặp cung PQ tâm O, được C, D. (Trường hợp O' =/= O và trường hợp Q = P, xin nhường cho các bạn.)

Phép (4). Đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư, nghĩa là đoạn thẳng d sao cho a/b = c/d với a, b, c là ba đoạn thẳng cho trước, được dựng như sau. Dựng tam giác cân MOL, OM = OL = a, ML = c. Hai đường tròn (O, b), (L, u) với u nào đó cắt nhau tại một điểm S trong góc LOM. Hai đường tròn (O, b), (M, u) với u như trên cắt nhau tại một điểm T ngoài góc LOM. Ta có ST = d. (Trường hợp c > 2a thì sao nhỉ, các bạn thử nghĩ xem.)

Phép LL. Giao điểm F của hai đường thẳng AB, CD cho trước được dựng như sau. Dựng C' đối xứng với C qua AB. Dựng D' tương tự. Dựng hình bình hành DCC'E. Dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư với D'E, DD', C' D', gọi là x. Giao điểm thích hợp của hai đường tròn (D, x), (D', x) là F.

----------------
-8- Đường thẳng biến thành đường tròn đi qua tâm đường tròn lớn -- ND.

-9- Tom Rike: Mascheroni and Steiner constructions. Berkeley Math Circle. http://mathcircle.be...3/construct2.ps

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi queensland: 18-07-2005 - 23:26


#19
Alligator

Alligator

    Sĩ quan

  • Founder
  • 428 Bài viết
Trang này trình bày khá cụ thể về dựng hình chỉ bằng compass, các bạn tham khảo thêm:
http://www.cut-the-k...w/compass.shtml

Cách dựng giao điểm hai đường thẳng (chỉ được cho bởi hai cặp điểm) ở đây:
http://www.cut-the-k...compass11.shtml

Bạn nào có điều kiện vẽ giúp cái hình nhé :geq
<span style='color:blue'>Roses are red,
violets are blue,
Fermat is dead,
but his theorem is true.
</span>

#20
Liar

Liar

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Phép CN (dựng đường tròn đi qua ba điểm). Tâm O của đường tròn đi qua ba điểm P, Q, R cho trước được dựng như sau. Mọi phép nghịch đảo sẽ được thực hiện qua đường tròn (P, Q). Dựng điểm R' nghịch đảo của R. Hai đường tròn (Q, P) và (R', P), ngoài điểm P ra chúng sẽ cắt nhau ở một điểm thứ hai gọi là O'. Điểm nghịch đảo của O' là O.


Cho hỏi điểm nghịch đảo O' là qua đg tròn nào? Liar sau khi vẽ ra O' thì tịt chẳng biết vẽ O bằng cách nào, mong đc chỉ giúp, cám ơn nhiều.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh