$f(x)f''(x)\leq -a< 0 \Rightarrow f''(x)< 0 \Rightarrow f'(x)$ nghịch biến (1)
Nếu $\exists x_{0} : f'(x_{0})< 0\Rightarrow f(x)-f(x_{0})=\int_{x_{0}}^{x}f'(x)dx< \int_{x_{0}}^{x}f'(x_{0})dx \forall x> x_{0}$
$f(x)< f(x_{0})+(x-x_{0})f'(x_{0}) \forall x> x_{0}$
$\Rightarrow f(x)< 0 ; x\rightarrow \infty$ Điều này vô lí.
$\Rightarrow f'(x)\geq 0$ với mọi x (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\exists 0\leq b< \infty : \lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)= b$
Giả sử rằng : $\forall x\geq N \Rightarrow b+\varepsilon > f'(x)> b-\varepsilon$ với $0< \varepsilon < b ; \varepsilon < \frac{b}{5a}$
Từ bất đẳng thức ban đầu lấy tích phân hai vế có :
$0\geq \int_{N}^{x}(f(x)f''(x)+a)dx=\int_{N}^{x}f(x)f''(x)dx +a(x-N)$
$\Rightarrow 0\geq f(x)f'(x)-f(N)f'(N)-\int_{N}^{x}(f'(x))^2dx+a(x-N)$
Ta có :
$f(x)-f(N)=(x-N)f'(\epsilon _{x})> (x-N)(b-\varepsilon )$
$(f'(x))^2< (b+\varepsilon )^2$
Suy ra : $0\geq (x-N)(b-\varepsilon )^2+f(N)(b-\varepsilon )-f(N)f'(N)-(x-N)(b+\varepsilon )^2+a(x-N)$
$\Rightarrow 0\geq (x-N)(a-4b\varepsilon )+f(N)(b-\varepsilon )-f(N)f'(N)$ (3)
mà $a-4b\varepsilon > a-4b.\frac{a}{5b}> \frac{a}{5}> 0$
Do đó (3) không đúng khi $x\rightarrow +\infty$
Vậy không tồn tại $f(x)$ khi $a>0$
Với $a=0$ xét hàm số $f(x)=ln(x+2)$ là một hàm thỏa mãn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanhuongsky: 28-06-2014 - 08:15