12 replies to this topic

[maimaimottinhyeu]

Bài 1 : Cho A,B,C là ba góc cua tam giác ABC. Chứng minh rằng :
$sin(\dfrac{A+3B}{4}).sin(\dfrac{B+3C}{4}).sin(\dfrac{C+3A}{4}) \geq sinA.sinB.sinC$

Bài 2 :Cho tam giác ABC nhọn ,chứng minh BDT:
$ tan^5{A} + tan^5{B} + tan^5{C} \geq 9(tanA + tanB + tanC)$

[h.vuong_pdl]

ĐẶt a = tanA, b = tanB, c = tanC ta có đẳng thức quen thuộc:
a + b + c = abc và ABC nhọn => a,b,c > 0.
cần Cm BDT là: $a^5 + b^5 + c^5 \ge 9(a+b+c)$

Cm cái này có khá nhiều cách, mình xin trình bày 1 cách đơn giản ???
trước hết sử dụng giả thiết => đưa BDT về dạng đồng bậc :
$BDT <=> (a+b+c)^2(a^5+b^5+c^5) \ge 9(a^2b^2c^2(a+b+c)$
hay $(a+b+c)(a^5+b^5+c^5) \ge 9a^2b^2c^2$
đến đây áp dụng ngay BDT cô-si 3 số ta có đpcm!
$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}; a^5+b^5+c^5 \ge 3\sqrt[3]{a^5b^5c^5}$

[maimaimottinhyeu]

Giúp mình bài 1 ý, mình không có hướng làm !

[dark templar]

Bài 1 : Cho A,B,C là ba góc cua tam giác ABC. Chứng minh rằng :
$sin(\dfrac{A+3B}{4}).sin(\dfrac{B+3C}{4}).sin(\dfrac{C+3A}{4}) \geq sinA.sinB.sinC$

Bài 2 :Cho tam giác ABC nhọn ,chứng minh BDT:
$ tan^5{A} + tan^5{B} + tan^5{C} \geq 9(tanA + tanB + tanC)$

Mình giải bài 1 vậy
Đặt $ \alpha =\dfrac{A+3B}{4}. \beta =\dfrac{B+3C}{4}, \sigma =\dfrac{C+3A}{4}$
có BĐT<=>$sin \alpha .sin \beta .sin \sigma \geq sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( -\alpha + \beta + \sigma ).sin( \alpha - \beta + \sigma )$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( -\alpha + \beta + \sigma ) \leq \dfrac{(sin( \alpha + \beta - \sigma )+sin(- \alpha + \beta +\sigma ))^2}{4} \leq sin^2. \beta$(BĐT Jensen)
tt,ta có $sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( \alpha - \beta + \sigma ) \leq sin^2\alpha $
$sin(- \alpha + \beta + \sigma ).sin( \alpha - \beta +\sigma ) \leq sin^2 \sigma $
Nhân vế theo vế =>đpcm

Edited by dark templar, 24-09-2010 - 21:27.

[NightBaron]

Mình giải bài 1 vậy
Đặt $ \alpha =\dfrac{A+3B}{4}. \beta =\dfrac{B+3C}{4}, \sigma =\dfrac{C+3A}{4}$
có BĐT<=>$sin \alpha .sin \beta .sin \sigma \geq sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( -\alpha + \beta + \sigma ).sin( \alpha - \beta + \sigma )$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( -\alpha + \beta + \sigma ) \leq \dfrac{(sin( \alpha + \beta - \sigma )+sin(- \alpha + \beta +\sigma ))^2}{4} \leq sin^2. \beta$(BĐT Jensen)
tt,ta có $sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( \alpha - \beta + \sigma ) \leq sin^2\alpha $
$sin(- \alpha + \beta + \sigma ).sin( \alpha - \beta +\sigma ) \leq sin^2 \sigma $
Nhân vế theo vế =>đpcm

Việc gì phải vậy:

Do $A,B,C$ là 3 góc trong tam giác nên theo Jensen va AG-GM:

$\Pi[sin\dfrac{A+3B}{4}]\ge \Pi[\dfrac{sinA+3sinB}{4}]\ge \Pi\sqrt[4]{sinA.sin^3B}=\Pi sinA$

$\Rightarrow Q.E.D$

[maimaimottinhyeu]

Không có cách nào khác sai hả bạn ! VD những ai chưa biết BĐT Jensen thì bó tay ah !

[dark templar]

Mình nghĩ đối với BĐT dạng Lượng Giác có chứa hàm sin ,cos thì sử dụng BĐT Jensen là đơn giản nhất

[maimaimottinhyeu]

Mình chưa hiểu lắm chỗ biến đổi anpa kia , bạn chỉ rõ đi !

[dark templar]

Mình chưa hiểu lắm chỗ biến đổi anpa kia , bạn chỉ rõ đi !

Ý bạn là chỗ đặt ẩn phụ $ \sigma, \beta ,\alpha $ đó hả?????

[tranvietcuong]

CM Jensen cho hàm sin cos trong một tam giác dễ mà
$ SinA + SinB = 2Sin( \dfrac{A+B}{2})Cos( \dfrac{A-B}{2}) \leq 2Sin( \dfrac{A+B}{2}) $
$ (do 0 \leq Cos( \dfrac{A-B}{2}) \leq 1 )$


Ghi chú:
Sao bạn toàn post đề thì HSG thành phố hà nội qua các năm thế ??????????????????????

Edited by tranvietcuong, 06-10-2010 - 18:35.

[CD13]

Bài 2 thực ra là trường hợp đặc biệt (khi $m = 5, n = 1$) của bất đẳng thức trâu bò sau:
$tan^mA+tan^mB+tan^mC \ge 3^{\dfrac{m-n}{2}}(tan^nA+tan^nB+tan^nC)$
Dĩ nhiên tam giác ABC nhọn và m > n.

Edited by ongtroi, 06-10-2010 - 19:58.

[CD13]

Nói luôn bài 1:
$sinAsinBsinC \le sin(\dfrac{mA+nB}{m+n})sin(\dfrac{mB+nC}{m+n})sin(\dfrac{mC+nA}{m+n})$
trong đó m, n nguyên dương và có ít nhất một trong 2 số là lẻ

[tranvietcuong]

Bài 2 chọn điểm rơi tại $ \sqrt{3} $ rồi cộng thêm vài lượng liên hợp ắt ra hết

Edited by tranvietcuong, 06-10-2010 - 21:53.