Giúp Mình BĐT Lượng ! Nhanh nhé
#1
Đã gửi 21-09-2010 - 11:48
$sin(\dfrac{A+3B}{4}).sin(\dfrac{B+3C}{4}).sin(\dfrac{C+3A}{4}) \geq sinA.sinB.sinC$
Bài 2 :Cho tam giác ABC nhọn ,chứng minh BDT:
$ tan^5{A} + tan^5{B} + tan^5{C} \geq 9(tanA + tanB + tanC)$
#2
Đã gửi 21-09-2010 - 12:19
a + b + c = abc và ABC nhọn => a,b,c > 0.
cần Cm BDT là: $a^5 + b^5 + c^5 \ge 9(a+b+c)$
Cm cái này có khá nhiều cách, mình xin trình bày 1 cách đơn giản ???
trước hết sử dụng giả thiết => đưa BDT về dạng đồng bậc :
$BDT <=> (a+b+c)^2(a^5+b^5+c^5) \ge 9(a^2b^2c^2(a+b+c)$
hay $(a+b+c)(a^5+b^5+c^5) \ge 9a^2b^2c^2$
đến đây áp dụng ngay BDT cô-si 3 số ta có đpcm!
$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}; a^5+b^5+c^5 \ge 3\sqrt[3]{a^5b^5c^5}$
rongden_167
#3
Đã gửi 21-09-2010 - 12:23
#4
Đã gửi 24-09-2010 - 21:24
Mình giải bài 1 vậyBài 1 : Cho A,B,C là ba góc cua tam giác ABC. Chứng minh rằng :
$sin(\dfrac{A+3B}{4}).sin(\dfrac{B+3C}{4}).sin(\dfrac{C+3A}{4}) \geq sinA.sinB.sinC$
Bài 2 :Cho tam giác ABC nhọn ,chứng minh BDT:
$ tan^5{A} + tan^5{B} + tan^5{C} \geq 9(tanA + tanB + tanC)$
Đặt $ \alpha =\dfrac{A+3B}{4}. \beta =\dfrac{B+3C}{4}, \sigma =\dfrac{C+3A}{4}$
có BĐT<=>$sin \alpha .sin \beta .sin \sigma \geq sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( -\alpha + \beta + \sigma ).sin( \alpha - \beta + \sigma )$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( -\alpha + \beta + \sigma ) \leq \dfrac{(sin( \alpha + \beta - \sigma )+sin(- \alpha + \beta +\sigma ))^2}{4} \leq sin^2. \beta$(BĐT Jensen)
tt,ta có $sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( \alpha - \beta + \sigma ) \leq sin^2\alpha $
$sin(- \alpha + \beta + \sigma ).sin( \alpha - \beta +\sigma ) \leq sin^2 \sigma $
Nhân vế theo vế =>đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-09-2010 - 21:27
#5
Đã gửi 25-09-2010 - 10:37
Mình giải bài 1 vậy
Đặt $ \alpha =\dfrac{A+3B}{4}. \beta =\dfrac{B+3C}{4}, \sigma =\dfrac{C+3A}{4}$
có BĐT<=>$sin \alpha .sin \beta .sin \sigma \geq sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( -\alpha + \beta + \sigma ).sin( \alpha - \beta + \sigma )$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( -\alpha + \beta + \sigma ) \leq \dfrac{(sin( \alpha + \beta - \sigma )+sin(- \alpha + \beta +\sigma ))^2}{4} \leq sin^2. \beta$(BĐT Jensen)
tt,ta có $sin( \alpha + \beta - \sigma ).sin( \alpha - \beta + \sigma ) \leq sin^2\alpha $
$sin(- \alpha + \beta + \sigma ).sin( \alpha - \beta +\sigma ) \leq sin^2 \sigma $
Nhân vế theo vế =>đpcm
Việc gì phải vậy:
Do $A,B,C$ là 3 góc trong tam giác nên theo Jensen va AG-GM:
$\Pi[sin\dfrac{A+3B}{4}]\ge \Pi[\dfrac{sinA+3sinB}{4}]\ge \Pi\sqrt[4]{sinA.sin^3B}=\Pi sinA$
$\Rightarrow Q.E.D$
#6
Đã gửi 25-09-2010 - 12:08
#7
Đã gửi 25-09-2010 - 17:29
#8
Đã gửi 06-10-2010 - 18:15
#9
Đã gửi 06-10-2010 - 18:17
Ý bạn là chỗ đặt ẩn phụ $ \sigma, \beta ,\alpha $ đó hả?????Mình chưa hiểu lắm chỗ biến đổi anpa kia , bạn chỉ rõ đi !
#10
Đã gửi 06-10-2010 - 18:32
$ SinA + SinB = 2Sin( \dfrac{A+B}{2})Cos( \dfrac{A-B}{2}) \leq 2Sin( \dfrac{A+B}{2}) $
$ (do 0 \leq Cos( \dfrac{A-B}{2}) \leq 1 )$
Ghi chú:
Sao bạn toàn post đề thì HSG thành phố hà nội qua các năm thế ??????????????????????
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranvietcuong: 06-10-2010 - 18:35
#11
Đã gửi 06-10-2010 - 19:56
$tan^mA+tan^mB+tan^mC \ge 3^{\dfrac{m-n}{2}}(tan^nA+tan^nB+tan^nC)$
Dĩ nhiên tam giác ABC nhọn và m > n.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 06-10-2010 - 19:58
#12
Đã gửi 06-10-2010 - 20:05
$sinAsinBsinC \le sin(\dfrac{mA+nB}{m+n})sin(\dfrac{mB+nC}{m+n})sin(\dfrac{mC+nA}{m+n})$
trong đó m, n nguyên dương và có ít nhất một trong 2 số là lẻ
#13
Đã gửi 06-10-2010 - 21:47
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranvietcuong: 06-10-2010 - 21:53
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh