Đến nội dung


Hình ảnh

Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 hung0503

hung0503

    benjamin wilson

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LA

Đã gửi 26-09-2010 - 08:41

Cho $p$ là số nguyên tố.
Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$
với $p \equiv 1\pmod4 $
[x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

What if the rain keeps falling?
What if the sky stays gray?
What if the wind keeps squalling,
And never go away?
I still ........

Hình đã gửi


#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 475 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 26-03-2015 - 17:48

 

Cho $p$ là số nguyên tố.
Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$
với $p \equiv 1\pmod4 $
[x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

 

bài này gần giống với bài trong $TST\ 2005$ nhỉ

Capture.PNG

Capture.PNG

 

U-Th


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-03-2015 - 17:49

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#3 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 475 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 27-03-2015 - 20:29

 

Cho $p$ là số nguyên tố.
Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$
với $p \equiv 1\pmod4 $
[x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

 

vì $p\equiv 1(mod\ 4)\Rightarrow \exists n:p\mid n^2+1$

gọi $r_k$ là số dư khi chia $k$ cho $p$ do đó $k^2=\left [ \frac{k^2}{p} \right ].p+r_{k^2}$

$\Rightarrow S=\frac{1}{p}\left ( \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}k^2-\sum_{k\in A}^{.}r_k \right )$ với $A=\left \{ 1^2,2^2,...,\left ( \frac{p-1}{2} \right )^2 \right \}$

do $p$ nguyên tố nên trong tập $B=\left \{ 1,2,...,p-1 \right \}$ có đúng $\frac{p-1}{2}$ lớp thặng dư bình phương,do đó

$\sum_{k\in A}^{.} r_k=\sum_{k\in A}^{.}r_{n^2k}=\sum_{k\in A}^{.}r_{-k}=\sum_{k\in A}^{.}(p-r_k)=\frac{p(p-1)}{2}-\sum_{k\in A}^{.}r_k\Rightarrow \sum_{k\in A}^{.}r_k=\frac{p(p-1)}{4}$

do đó ta có được

$S=\frac{1}{p}\left [ \frac{1}{6}\left ( \frac{p-1}{2} \right )\left ( \frac{p+1}{2} \right )p-\frac{p(p-1)}{4} \right ]=\frac{(p-1)(p-5)}{24}$

 

U-Th


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh