Chủ đề này có 1 trả lời

[CD13]

Chứng minh một tính chất đơn giản của ma trận: Định thức của một ma trận bằng không nếu có một dòng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của dòng (cột) khác!

[L_Euler]

Chứng minh một tính chất đơn giản của ma trận: Định thức của một ma trận bằng không nếu có một dòng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của dòng (cột) khác!

Nó là đủ khi chỉ cần chứng minh rằng 1 cột là tổ hợp tuyến tính của 2 cột khác thì định thức của ma trận bằng 0.

Cho $M=(a_{ij})_{n \times n} \in \mathbb{M}(n, \mathbb{K}).$

Kí hiệu cột của ma trận như sau: ${\pi _j} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1j}}} \\{{a_{2j}}} \\ . \\ {{a_{nj}}} \\\end{array}} \right) \to M = ({\pi _1},{\pi _2},...,a{\pi _i} + b{\pi _j},...,{\pi _n})$ với $i,j$ là các chỉ số nào đó chạy từ $1$ đến $n$ và $i \ne j$. Nếu giả sử ta có 1 tổ hợp tuyến tính tại cột thứ $k$ đối với cột thứ $i$ và $j$.

Theo tính chất đa tuyến tính thì:

$\det M = \det ({\pi _1},{\pi _2},...,a{\pi _i} + b{\pi _j},...,{\pi _n}) = a\det ({\pi _1},{\pi _2},...,{\pi _i},...,{\pi _n}) + b\det ({\pi _1},{\pi _2},...,{\pi _j},...,{\pi _n}) = 0 + 0 = 0$ (vì $i,j$ ít nhất phải trùng với 1 chỉ số nào đó trong ma trận đã cho nên cả 2 thành phần được tách ra từ ma trận ban đầu phải có 2 cột giống nhau) (ĐPCM)

Tương tự cho hàng.

P/S: Để có thể làm như trên thì phải tuân theo định nghĩa về phép thế cũng như tổng định thức của ma trận, nếu muốn tìm hiểu rõ thì bạn có thể tham khảo 1 số cuốn ĐSTT của sv khoa toán các trường KHTN hoặc SPHN.