26 replies to this topic

[khacduongpro_165]

Tìm Lim :frac{tanx-x}{ x^{3} } khi x->0!!!

[PTH_Thái Hà]

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x - x}}{{{x^3}}} $

[khacduongpro_165]

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x - x}}{{{x^3}}} $

uhm không thấy ai trả lời hề!!!

[khacduongpro_165]

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x - x}}{{{x^3}}} $

vào giải đi nào!!!

[hung0503]

$ x \to 0^+$ hay $ x \to 0^-$ hả bạn??
dùng đạo hàm dễ dàng cm $tanx-x>0$

Edited by hung0503, 15-10-2010 - 23:18.

[khacduongpro_165]

$ x \to 0^+$ hay $ x \to 0^-$ hả bạn??
dùng đạo hàm dễ dàng cm $tanx-x>0$

cứ cho la x->0+ đi! thử xem

[hung0503]

cứ cho la x->0+ đi! thử xem

vì $tanx-x>0$(đạo hàm) nên $x \to 0^+$ thì $lim \dfrac{tanx-x}{x^3}= + \infty $

[khacduongpro_165]

vì $tanx-x>0$(đạo hàm) nên $x \to 0^+$ thì $lim \dfrac{tanx-x}{x^3}= + \infty $

hãy kiểm chứng kết quả trước khi post lên! Nếu không có thi thử kiểm tra bắng lopital là biết ngay thôi mà!!

[CD13]

Đáp số:

$\dfrac{1}{3}$

[PTH_Thái Hà]

bạn làm rõ hơn đi
chú ý rằng đây là dạng vô định 0/0
mình bấm máy cũng ra là âm vô cùng nhưng chưa CM đc

Edited by PTH_Thái Hà, 17-10-2010 - 21:38.

[khacduongpro_165]

Đáp số:

$\dfrac{1}{3}$

dap số thì nói làm gì???
vì chỉ cần thử bằng lôpital là ra ngay thôi mà!
căn bản là cách giải

[CD13]

Bài này có thể giải như thế này:

Để ý: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$ và định lí giới hạn hữu hạn các hàm số ta có

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x - x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - x\cos x}}{{x^3 \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x\left( {1 - \dfrac{x}{{\sin x}}\cos x} \right)}}{{x.x^2 \cos x}} \\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos x}}{{x^2 \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sin ^2 \left( {\dfrac{x}{2}} \right)}}{{4\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2 \cos x}} = \dfrac{1}{2} \\ \\ \end{array}$

P/s: Đáp số trước tính không kĩ nên lộn rồi

Edited by ongtroi, 17-10-2010 - 21:57.

[khacduongpro_165]

Bài này có thể giải như thế này:

Để ý: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$ và định lí giới hạn hữu hạn các hàm số ta có

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x - x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - x\cos x}}{{x^3 \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x\left( {1 - \dfrac{x}{{\sin x}}\cos x} \right)}}{{x.x^2 \cos x}} \\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos x}}{{x^2 \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sin ^2 \left( {\dfrac{x}{2}} \right)}}{{4\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2 \cos x}} = \dfrac{1}{2} \\ \\ \end{array}$

P/s: Đáp số trước tính không kĩ nên lộn rồi

giải sai rồi! thay giới hạn cơ bản vào tích thì chập nhận được nhưng vào tổng thì không!

[CD13]

Bạn nói vậy mình cũng chẳng biết sao nữa, nếu bài này trên đại học thì sử dụng vô cùng bé là OK!

Tuy nhiên mình có biết một hệ quả: Nếu $f_1(x),f_2(x),...f_n(x)$ là một số hữu hạn các hàm số có giới hạn trong cùng một quá trình nào đó thì trong quá trình ấy ta có:
$lim[f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)]=limf_1(x)+limf_2(x)+...+limf_n(x)\\ lim[f_1(x).f_2(x).....f_n(x)]=limf_1(x).limf_2(x)....limf_n(x)$

Edited by ongtroi, 17-10-2010 - 22:19.

[inhtoan]

giải sai rồi! thay giới hạn cơ bản vào tích thì chập nhận được nhưng vào tổng thì không!

Đúng là bạn ongtroi giải nhầm. Vì chỉ có quy tắc tính giới hạn
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x) + g(x){\rm{] = L + M}}$, với $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M.$ ( $L, M \in R$).
Chứ không có quy tắc nào như thế này cả $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x) + g(x){\rm{] = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[L + g(x)]}}$.

Edited by inhtoan, 17-10-2010 - 22:31.

[khacduongpro_165]

Bạn nói vậy mình cũng chẳng biết sao nữa, nếu bài này trên đại học thì sử dụng vô cùng bé là OK!

Tuy nhiên mình có biết một hệ quả: Nếu $f_1(x),f_2(x),...f_n(x)$ là một số hữu hạn các hàm số có giới hạn trong cùng một quá trình nào đó thì trong quá trình ấy ta có:
$lim[f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)]=limf_1(x)+limf_2(x)+...+limf_n(x)\\ lim[f_1(x).f_2(x).....f_n(x)]=limf_1(x).limf_2(x)....limf_n(x)$

Tùy cậu! Thử giải bằng vô cùng bé xem nào?

[AnSatTruyHinh]

Đúng là bạn ongtroi giải nhầm. Vì chỉ có quy tắc tính giới hạn
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x) + g(x){\rm{] = L + M}}$, với $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M.$ ( $L, M \in R$).
Chứ không có quy tắc nào như thế này cả $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x) + g(x){\rm{] = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[L + g(x)]}}$.

Bác inhtoan nói sai rồi,nếu g(x) có giới hạn hữu hạn thì CT đó là hoàn toàn đúng
Bài này giải sai ở chỗ $\lim_{x \to 0}{\dfrac{1-\dfrac{x}{sinx}.cosx}{x^2.cosx}}=\lim_{x \to 0}{\dfrac{1-cosx}{x^2.cosx}}$
Lưu ý $\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{\lim_{x \to x_0}{f(x)}}{\lim_{x \to x_0}{g(x)}}$ khi và chỉ khi f(x),g(x) có giới hạn hữu hạn và $\lim_{x \to x_0}{g(x)}$ khác 0.Ở đây lim g(x)=0 nên không áp dụng dc ct này

Edited by AnSatTruyHinh, 19-10-2010 - 20:04.

[inhtoan]

Bác inhtoan nói sai rồi,nếu g(x) có giới hạn hữu hạn thì CT đó là hoàn toàn đúng
Bài này giải sai ở chỗ $\lim_{x \to 0}{\dfrac{1-\dfrac{x}{sinx}.cosx}{x^2.cosx}}=\lim_{x \to 0}{\dfrac{1-cosx}{x^2.cosx}}$
Lưu ý $\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{\lim_{x \to x_0}{f(x)}}{\lim_{x \to x_0}{g(x)}}$ khi và chỉ khi f(x),g(x) có giới hạn hữu hạn và $\lim_{x \to x_0}{g(x)}$ khác 0.Ở đây lim g(x)=0 nên không áp dụng dc ct này

Vậy mình thử lấy 1 ví dụ xem theo bạn cách sau có hợp lí không nhé.
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} - 2x + 3} - x)$
Lời giải.
Ta có $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} - 2x + 3} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - x} \right)$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} = 1$
nên $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - x) = 0.$

[khacduongpro_165]

Bác inhtoan nói sai rồi,nếu g(x) có giới hạn hữu hạn thì CT đó là hoàn toàn đúng
Bài này giải sai ở chỗ $\lim_{x \to 0}{\dfrac{1-\dfrac{x}{sinx}.cosx}{x^2.cosx}}=\lim_{x \to 0}{\dfrac{1-cosx}{x^2.cosx}}$
Lưu ý $\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{\lim_{x \to x_0}{f(x)}}{\lim_{x \to x_0}{g(x)}}$ khi và chỉ khi f(x),g(x) có giới hạn hữu hạn và $\lim_{x \to x_0}{g(x)}$ khác 0.Ở đây lim g(x)=0 nên không áp dụng dc ct này

Công thứ giwois hạn của tổng bằng tổng các giới hạn thì đúng nhưng phải thay trong cùng mộy quá trình bạn ah!

[AnSatTruyHinh]

Vậy mình thử lấy 1 ví dụ xem theo bạn cách sau có hợp lí không nhé.
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} - 2x + 3} - x)$
Lời giải.
Ta có $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} - 2x + 3} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - x} \right)$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} = 1$
nên $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - x) = 0.$

Mình chưa thấy gì mâu thuẫn với lời mình nói cả.Với lại lời giải đó sai ở chỗ $\lim_{x \to +\infty}{x.\sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}=\lim_{x \to +\infty}{x}$ vì $\lim_{x \to +\infty}{x}=+\infty$ nên không áp dụng dc ct tổng hai lim và tích hai lim,cùng dạng sai với bài trên...