geometric quantization
#1
Đã gửi 20-07-2005 - 20:54
Với tiêu đề là geometric quantization, nhưng thực tế thì đây là 1 đề tài hội tụ được khá nhiều lãnh vực của Toán học: Lý thuyết biểu diễn, Hình học Symplectic, nhóm Lie, Giải tích điều hòa, Giải tích phức, Hệ động lực (lý thuyết hệ khả tích), C*-Đại số, Topo, Hình học phức, Hình học vi phân cũng như Vật lý: Cơ hệ Hamilton, Cơ học lượng tử, lý thuyết trường.
Thường thì mình thấy có 1 số người làm Toán học chay đã hơi có ý "khinh thường " những người làm trong lãnh vực Toán-Lý này. Nhưng như thế thì quả là hơi bất công, vì ngành này cũng là 1 ngành Toán học lý thuyết hoàn toàn, hơn nữa còn đòi hỏi có 1 trình độ kiến thức hiểu biết sâu, rộng, cộng với 1 cảm nhận Vật lý.
Trước khi mở Topic này, mình đã đắn đo rất nhiều, biết là sẽ rất ít người tham gia, nhưng mình biết chắc chắn sẽ có 1 người nhiệt liệt ủng hộ đó là anh Kaka.
Trước đây mình có tham vọng lập Topic Algebraic Topology và muốn đi tới cùng, cùng với nhiều kiến thức hiện đại, nhưng mình chợt hiểu, ngay trong những kiến thức đó, mình còn quá nhiều chỗ hổng, hơn nữa lãnh vực stable homotopy quá hẹp, không có nhiều người theo chuyên nghành này, cho nên mình quyết định quay lại với sở trường vốn có của mình đó là Phép lượng tử hóa hình học.
Nếu các bạn có tinh thần muốn xây dựng topic này, thì các bạn được nhiệt liệt hoan nghênh post bài, tuy nhiên mình xin có 1 đề nghị là không post nhưng bài không có liên quan đến tiêu đề của Topic.
Rút kinh nghiệm lần trước, lần này mình sẽ bắt đầu bằng những kiến thức Toán học cơ bản nhất, mà mọi sinh viên năm thứ 2 đều có thể nắm bắt được.
------------------
Hình học Symplectic:
Để hiểu được hình học Symplectic, thì tốt nhất hãy bắt đầu bằng hình học vi phân. Mình coi như người đọc đã nắm bắt được thế nào là 1 Đa tạp khả vi. Ta gọi M là 1 đa tạp khả vi, TM là Tangent bundle, cũng như T*M là Cotangent bundle của M.
1 fundamental Lema có thể nói là như sau:
Ký hiệu Der : <img src="http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^{\infty}_{p} (M) ---> C^{\infty}_{p} (M)" $ là Derivation, trong đó <img src="http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^{\infty}_{p} (M)" $ là tập hợp các hàm thực khả vi vô hạn trên M tại gần điểm p với các tính chất:
(1) Der ( a.f + b.g) = a.Der(f) + b.Der(g), a,b R
(2) Der(f.g) = f.Der(g) + g.Der(f) ( Leibniz Rule)
Gọi t là 1 hàm số t: <img src="http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^{\infty}_{p} (M) ---> R" $, thỏa mãn các tính chất:
(1) t(a.f + b.g) = a.t(f) + b.t(g), a,b R
(2) t(f.g) = f(p).t(g) + g(p).t(f)
Hãy cmr:
Bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất: Gọi <img src="http://dientuvietnam...in/mimetex.cgi? W = { -1 < x_{i} < 1, i = 1,....,n} \subset R^n" $ và <img src="http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f \in C^{\infty} (W)" $, vậy thì tồn tại các hàm số : <img src="http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_1 , f_2 , .... , f_n \in C^{\infty} (W)" $ sao cho: <img src="http://dientuvietnam...in/mimetex.cgi? f = f(0) + x_1.f_1 + ..... + x_n.f_n" $ trong đó <img src="http://dientuvietnam...in/mimetex.cgi? f_i (0) = \partial f / \partial x_i (0)" $.
Tiếp theo hãy cmr Der = <img src="http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_i . \partial / \partial x_i " $ với <img src="http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_i \in C^{\infty}_{p} (W)" $ và t = <img src="http://dientuvietnam...mimetex.cgi?c_i . \partial / \partial x_i (p)" $ trong đó <img src="http://dientuvietnam...in/mimetex.cgi? c_i \in R" $.
Chú ý không được sử dụng định lý Stockes.
- isertenson yêu thích
#2
Đã gửi 20-07-2005 - 22:28
từ ngày còn lớp 9 em đã thấy nó hay hay nhưng không hiểu gì cả nhưng bây giờ thì thấy nó rất hay và thú vị mặc dù em chưa biết nhiều về nó lắm .em rất hoan nghênh anh khi đưa lên dien đàn lĩnh vưc này và sẽ tham gia nhiệt tình
#3
Đã gửi 21-07-2005 - 20:32
1. Alternating forms:
Cho V la 1 R-khong gian vector huu han chieu, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega: V x V → R la 1 alternating bilinear form ( tuyen tinh tren ca 2 bien) va http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 va dinh nghia http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R, ((v,v*),(w,w*)) → w*(v) - v*(w).
Chu y rang neu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega la alternating thi http://dientuvietnam...in/mimetex.cgi?) . Co the suy ra duoc ngay (H,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega) la symplectic vector space.
bai tap 2 ( very easy): Cmr http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega o tren la non-degenerate tren H.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 21-07-2005 - 20:34
#4
Đã gửi 22-07-2005 - 09:32
-Trong ví dụ về alternating bilinear form (dạng song tuyến tính thay phiên), có lấy http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega trên V lại thấy có một không gian W con của V, thế nghĩa là Degeneracy của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega trên V là một "hàm" theo W nữa à (không chỉ phụ thuộc vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega và V). Và hình như chưa định nghĩa non-degenerate là gì trong (easy) bài tập.
#5
Đã gửi 22-07-2005 - 09:42
(0 1)
(-1 0)
#6
Đã gửi 01-08-2005 - 18:03
Minh go det thi` no thanh ra cai dau |(.,.) | nhu vay day. Do la dinh thuc ma thoiTrong ví dụ về alternating bilinear form (dạng song tuyến tính thay phiên), có lấy và , cái ký hiệu (hàm) |(.,.) | là gì vậy?
Và hình như chưa định nghĩa non-degenerate là gì trong (easy) bài tập.
non-degenerate co nghia la Degeneracy = {0}.
1 symplectic vector space la 1 pair (V,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega), trong do V la kg vector, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega la non-degenerate alternating form.Trong bài post chưa thấy định nghĩa, hì).
Trong định nghĩa của Degeneracy của trên V lại thấy có một không gian W con của V, thế nghĩa là Degeneracy của trên V là một "hàm" theo W nữa à
Dinh nghia Degeneracy nay la cua Kg vector con W, con Degeneracy cua V thi tat nhien phai thay W boi V trong dinh nghia.
#7
Đã gửi 01-08-2005 - 18:26
1 bilinear form http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega cam sinh 1 natural linear map nhu sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?V* , w → http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi_{\omega} khong injective cung nhu khong surjective.
Co the kiem tra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega tren V co the duoc pull back to any subspace http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_1 cua V, cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_1 cua symplectic vector space V duoc goi la symplectic subspace neu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_1 duoc goi la 1 hyperbolic space.
Bai` tap ( khong kho' lam') : CMR 1 symplectic vector space la direct sum cua cac hyperbolic space.
Chu' thich': Bai' nay minh da giai, goi y' la` : cm truoc het symplectic vector space co so chieu luon la` 2n. Sau do dua vao` tinh chat non-degenerate cm rang ton tai phan tich http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_i la hyperbolic space.
Nguoi nao da tung hoc Vat ly ly thuyet thi co the tuong tuong bai nay kha don gian. Xet 1 co he Hamilton, Phase space cua co he luon co so chieu la 2n. Dua vao he phuong trinh Hamilton la co the suy ra duoc ngay. Tuy nhien cach cm nay khong phai la toan hoc. Chi' la` 1 chut it Motivation thoi.
#8
Đã gửi 02-08-2005 - 16:32
Nếu b: V x V --> R là 1 dạng song tuyến tính và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(V,\omega) là 1 hyperbolic space và chọn 1 basis http://dientuvietnam...ex.cgi?(e_1,e_2) sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_{\omega} của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega có dạng như anh Kaka đã nói. Nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_i là hyperbolic space thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?M_i có dạng
( 0 , 1)
(-1 , 0)
Iduced structure trên http://dientuvietnam...etex.cgi?R^{2n} được định nghĩa như sau (x,y) --> http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega_{std}. 1 dạng chuẩn (normal form) của 1 không gian vector symplectic là 1 Isomorphism http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_i sao cho . Vậy thì là 1 Basis của V và định nghĩa cũng như
----------------------
Tiếp theo là cấu trúc Riemann và Hermit trên không gian vector, trước hết mình xin trình bày đôi dòng về không gian vector phức.
1 không gian vector phức là 1 cặp (V,J), trong đó V là 1 không gian vector thực, là 1 Endomorphism với . Ánh xạ J được gọi là cấu trúc phức ( complex structure) trên V.
Ta gọi phức hóa (complexification) của 1 không gian vector là .
1 dạng song tuyến tính đối xứng g: V x V --> R trên 1 R-khong gian vector V được gọi là cấu trúc Riemann nếu và chỉ nếu nó là positive definite, có nghĩa là {0}.
Xa hơn nếu dạng song tuyến tính đối xứng nói trên thỏa mãn * ( liên hợp phức) thì nó được gọi là cấu trúc Hermit.
#9
Đã gửi 04-08-2005 - 19:40
Dinh nghia: 1 vector field X tren 1 da tap M la 1 linear map thoa man X(fg) = fX(g) + gX(f).
Nhu da post o bai dau tien thuc chat nguoi ta co the hieu vector field X 1 cach locally nhu la Derivation.
Dinh nghia: 1 tangent vector t tai diem la 1 ham so thoa man t(fg) = f(p)t(g) + g(p)t(f).
Bai` tap: Goi la 1 duong cong tron ( smooth curve) voi . Vay thi nguoi ta co the dinh nghia nhu la 1 tangent vector. Hay cmr tangent vector theo cach dinh nghia nay` duoc xem nhu la 1 equivalence class cua' curves.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 04-08-2005 - 19:42
#10
Đã gửi 05-08-2005 - 18:07
Goi http://dientuvietnam...tex.cgi?R^{2n}. Cho http://dientuvietnam...etex.cgi?R^{2n}, dinh nghia cau truc Riemann nhu sau http://dientuvietnam...tex.cgi?R^{2n}: http://dientuvietnam...metex.cgi?h(v,w) sao cho
#11
Đã gửi 05-08-2005 - 22:57
Con không hề hoài nghi tí nào về sự hiện hữu hoài nghi của người nhưng con hoài nghi rất nhiều về sự minh mẫn và công bình của người!
#12
Đã gửi 08-08-2005 - 15:42
#13
Đã gửi 08-08-2005 - 16:00
. Chon trong do . Ap dung cong thuc tich phan noi tren suy ra
#14
Đã gửi 08-08-2005 - 16:12
1 paracompact differentiable manifold G duoc goi la 1 nhom Lie neu no la 1 nhom va G x G → G , (g,h) → ghttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?h^{-1} la 1 http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^{\infty}-map.
1 tac dong (Action) cua 1 nhom G len 1 tap hop S la 1 map G x S → S , (g,s) → g(s) sao cho g(h(s)) = (gh)(s) va e(s) = s voi moi s S.
Neu M la 1 da tap trang bi 1 action G x M → M cua nhom Lie va action nay la smooth thi no duoc goi la 1 smooth G-action.
Cho 1 G-action tren 1 tap hop S va s S , ta dinh nghia G-orbit cua 1 point s la G.s = {g(s) : g G}. Goi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?G_s = { g G : g(s) = s} la isotropy subgroup tai point s.
Lan sau minh se post doi ba vi du ve nhom Lie.
#15
Đã gửi 08-08-2005 - 17:30
Dinh nghia cua Germ thi minh da noi roi: Xet 1 da tap M va 1 diem p M, ky hieu C(M) la dai so cac ham tron (smooth) tren M. Ta goi f ~ g neu ton tai 1 mien lan can tai diem p: U(p) sao cho neu f|U = g|U thi` t(f) = t(g), tuc la neu 2 duong cong tren 1 da tap giao nhau tai diem p, va co 1 lan can tai diem p sao cho trong mien nay 2 duong cong nam kha' trung` nhau thi` tangent vector cua 2 duong cong nay bang nhau. Neu 2 duong cong co tinh chat nhu the thi` ta coi nhu f ~ g (equivalence). Ky hieu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_p la Equivalence class cua f, tap hop cac Equivalence class ky hieu la va duoc goi la Germs.
Dinh nghia Differential map
, f → df = X(f), trong do X la vector field nhu da dinh nghia o cac bai post o tren. Ky hieu ( Exterior product)
Luc do De Rham Cohomology la
Cau hoi dat ra la`:
Hay cm: At Level of Germs thi` De Rham Cohomology la trivial tuc' la`
--------------------------
Ps: Bai nay neu su dung Algebraic Topology thi` khong kho', chi can chi ra 1 cach local: Cube homotopic voi point cho nen at the level of germs cohomology se trivial. Cai kho la cm 1 cach giai tich, chi su dung differential forms
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 08-08-2005 - 17:34
#16
Đã gửi 08-08-2005 - 20:43
#17
Đã gửi 24-11-2005 - 18:00
#18
Đã gửi 09-12-2006 - 16:59
#19
Đã gửi 09-12-2006 - 19:44
geometric quantization không có gì liên quan tới cái mà bạn gọi là lượng tử hóa không gian ( hoặc có thể có liên quan mà tôi không biết ). Theo tôi hiểu thì lượng tử hóa không gian thì thuộc về lãnh vực Siêu hấp dẫn. Còn ở trên tôi chưa thấy QC nói 1 chút khái niệm nào về geometric quantization. Tôi nghĩ dd có vài người làm về phần này, ví dụ như TQFT. Hello có thể hỏi anh ta xem sao.khoan một chút nào ! từ đầu tới giờ em thấy anh QQ toàn nói về toán ,hãy nhớ rằng đây là sự " lượng tử hóa hình học " và nó có hiệu lực trong " hình học " ,tức không gian tồn tại xung quanh vật chất ( vật lý mà ! ).hiểu theo quan điểm toán học không thì thực sự là " geometric quantization " chở thành " vô dụng! " ,cái từ " quantization " chẳng có ý nghĩa gì cả . dó đó mong anh QQ hãy nói về ý nghĩa của mấy biểu thức toán học phức tạp đó trong việc ứng dụng vào Vật Lý như thế nào ? .không gian bị lượng tử hóa bản chất của việc đó là gì ? .Đã là toán lý thì chúng phải song hành với nhua ,như thế mới có giá trị thực sự !
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh