Chủ đề này có 7 trả lời

[hienhien]

Cho tam giác ABC
a/ Chứng minh rằng mỗi điểm M nằm trong mp(ABC) luôn có bộ ba số $ \alpha, \beta, \sigma$ sao cho $ \alpha + \beta + \sigma = 1$ và $ \alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB} + \sigma\vec{MC} = \vec{0}$. Khi đó bộ ba số $ (\alpha, \beta, \sigma)$ được gọi là tọa độ trọng tâm của điểm M đối với tam giác ABC và viết $ M = (\alpha, \beta, \sigma)$.
b/ Chứng minh rằng : nếu $ M = (\alpha, \beta, \sigma)$ thì với mọi điểm O ta có :
$ \vec{OM} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \sigma\vec{OC}$.
c) Giả sử đối với tam giác ABC ta có $ M = (\alpha, \beta, \sigma)$. Gọi $ h_{a}, h_{b}, h_{c}$ lần lượt là các đường cao của tam giác ABC, $ d_{a}, d_{b}, d_{c}$ lần lượt là khoảng cách từ M tới các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng :
(i) $ \alpha = \pm \dfrac{ d_{a} }{ h_{a} }$ lấy dấu "+" hoặc dấu "-" tùy theo M và A cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng BC.
(ii) $ \beta = \pm \dfrac{ d_{b} }{ h_{b} }$ lấy dấu "+" hoặc dấu "-" tùy theo M và B cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng CA.
(iii) $ \sigma = \pm \dfrac{ d_{c} }{ h_{c} }$ lấy dấu "+" hoặc dấu "-" tùy theo M và A cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng BC.
d) Chứng minh rằng nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì :
$ \dfrac{ \vec{IA} }{ h_{a} } + \dfrac{ \vec{IB} }{ h_{b} } + \dfrac{ \vec{IC} }{ h_{c} } = \vec{0} $ và $ a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC} = \vec{0}$.
e) Chứng minh rằng nếu I là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC nằm trong góc A thì :
$ -\dfrac{ \vec{IA} }{ h_{a} } + \dfrac{ \vec{IB} }{ h_{b} } + \dfrac{ \vec{IC} }{ h_{c} } = \vec{0}$ và $ -a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC} = \vec{0}$.
f) Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trong tam giác ABC thì :
$ S_{MBC}\vec{MA} + S_{MCA}\vec{IB} + S_{MAB}\vec{IC} = \vec{0}$.
Nếu điểm M nằm trong mp(ABC) nhưng nằm ngoài tam giác ABC thì công thức trên thay đổi như thế nào?
g) Chứng minh rằng nếu H là trực tâm của tam giác nhọn ABC thì :
$tgA.\vec{HA} + tgB.\vec{HB} + tgC.\vec{HC} = \vec{0}.$
h) Chứng minh rằng nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì :
$sin2A.\vec{OA} + sin2B.\vec{OB} + sin2C.\vec{OC} = \vec{0} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 28-12-2011 - 22:45

[dark templar]

f) Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trong tam giác ABC thì :
$ S_{MBC}\vec{MA} + S_{MCA}\vec{IB} + S_{MAB}\vec{IC} = \vec{0}$.
Nếu điểm M nằm trong mp(ABC) nhưng nằm ngoài tam giác ABC thì công thức trên thay đổi như thế nào?
g) Chứng minh rằng nếu H là trực tâm của tam giác nhọn ABC thì :
$tgA.\vec{HA} + tgB.\vec{HB} + tgC.\vec{HC} = \vec{0}.$
h) Chứng minh rằng nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì :
$sin2A.\vec{OA} + sin2B.\vec{OB} + sin2C.\vec{OC} = \vec{0} $

Whoa!Chỉ đích danh mình luôn àh!!!Nhìn vô cái đề chỉ thấy 3 câu cuối là quen thôi!
Câu f:
Đặt $S_1=S_{MBC},S_2=S_{MCA},S_3=S_{MAB}$
Gọi $A_1=AM \cap BC $
$ \Rightarrow \overrightarrow {MA_1 } = \dfrac{{A_1 C}}{{BC}}\overrightarrow {MB} + \dfrac{{A_1 B}}{{BC}}\overrightarrow {MC} $
$\Rightarrow \dfrac{{A_1 C}}{{A_1 B}} = \dfrac{{S_{MA_1 C} }}{{S_{MA_1 B} }} = \dfrac{{S_{MAC} }}{{S_{MAB} }} = \dfrac{{S_2 }}{{S_3 }} $
$\Rightarrow \dfrac{{A_1 B}}{{BC}} = \dfrac{{S_2 }}{{S_2 + S_3 }}$
tt ta có $ \dfrac{{A_1 B}}{{BC}} = \dfrac{{S_3 }}{{S_2 + S_3 }}$
$\Rightarrow \overrightarrow {MA_1 } = \dfrac{{S_2 }}{{S_2 + S_3 }}\overrightarrow {MB} + \dfrac{{S_3 }}{{S_2 + S_3 }}\overrightarrow {MC} (1)$
$\dfrac{{MA_1 }}{{MA}} = \dfrac{{S_{MA_1 B} }}{{S_{MAB} }} = \dfrac{{S_{MA_1 C} }}{{S_{MAC} }} = \dfrac{{S_{MA_1 B} + S_{MA_1 C} }}{{S_{MAB} + S_{MAC} }} = \dfrac{{S_1 }}{{S_2 + S_3 }} $
$\Rightarrow \overrightarrow {MA_1 } = - \dfrac{{S_1 }}{{S_2 + S_3 }}\overrightarrow {MA} (2) $
Từ (1) và (2) suy ra
$- S_1 \overrightarrow {MA} = S_2 \overrightarrow {MB} + S_3 \overrightarrow {MC}$
$\Leftrightarrow S_1 \overrightarrow {MA} + S_2 \overrightarrow {MB} + S_3 \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 30-10-2010 - 23:54

[dark templar]

Câu g:
Áp dụng câu f,chọn M là trực tâm H,ta có :
$\overrightarrow {HA} .S_{HBC} + \overrightarrow {HB} .S_{HCA} + \overrightarrow {HC} .S_{HAB} = \overrightarrow 0 $
$\Leftrightarrow \overrightarrow {HA} .\left( {2R\sin A.\cos B.\cos C} \right) + \overrightarrow {HB} .\left( {2R\sin B.\cos C.\cos A} \right) + \overrightarrow {HC} \left( {2R\sin C\cos B\cos A} \right) = \overrightarrow 0 $
$\Leftrightarrow tgA\overrightarrow {HA} + tgB\overrightarrow {HB} + tgC\overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 (dpcm) $
Câu h hơi dài tí xíu nên mình chia làm 2 đoạn ,bạn chịu khó đọc nhé!
Xét 3 TH:
*Tam giác ABC vuông (giả sử là vuông tại A)
Ta có $\overrightarrow {OA} \sin 2A + \overrightarrow {OB} \sin 2B + \overrightarrow {OC} \sin 2C$
$= \overrightarrow {OB} \sin \left( {\pi - 2C} \right) + \overrightarrow {OC} \sin 2C $
$= \overrightarrow {OB} \sin 2C + \overrightarrow {OC} .\sin 2C\left( {B + C = \dfrac{\pi }{2}} \right) $
$= \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right).\sin 2C = \overrightarrow 0 .\sin 2C = \overrightarrow 0 $
*Tam giác ABC nhọn :
Áp dụng câu f ,chọn M là tâm đường tròn ngoại tiếp O ta có :
$\overrightarrow {OA.} S_{OBC} + \overrightarrow {OB} .S_{OCA} + \overrightarrow {OC} .S_{OAB} = \overrightarrow 0 $
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\sin 2A.R^2 .\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{2}R^2 \sin 2B.\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{2}R^2 \sin 2C.\overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $
$\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\sin 2A + \overrightarrow {OB} .\sin 2B + \overrightarrow {OC} .\sin 2C = \overrightarrow 0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 30-10-2010 - 23:28

[hieu979]

Cảm ơn bạn nhiều lắm!
Bạn có thể cho mình địa chỉ E-mail được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieu979: 30-10-2010 - 22:52

[dark templar]

(tiếp theo)
*Tam giác ABC tù (giả sử tù tại A):
Goi D là giao điểm của AO và BC
Ta có
$\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BD} $
$\Rightarrow CD.\overrightarrow {OD} = CD.\overrightarrow {OB} + CD.\overrightarrow {BD} $
$\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CD} $
$\Rightarrow BD.\overrightarrow {OD} = BD.\overrightarrow {OC} + BD.\overrightarrow {CD}$
$\Rightarrow BC.\overrightarrow {OD} = \left( {BD + CD} \right).\overrightarrow {OD} = CD.\overrightarrow {OB} + BD.\overrightarrow {OC} + \left( {CD.\overrightarrow {BD} + BD.\overrightarrow {CD} } \right)$
$= CD.\overrightarrow {OB} + BD.\overrightarrow {OC} $
$\Rightarrow \overrightarrow {OD} = \dfrac{{CD}}{{BC}}.\overrightarrow {OB} + \dfrac{{BD}}{{BC}}.\overrightarrow {OC} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{BD}}{{CD}}}}.\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{CD}}{{BD}}}}.\overrightarrow {OC} $
$= \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{S_{OAB} }}{{S_{OCA} }}}}.\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{S_{OCA} }}{{S_{OAB} }}}}.\overrightarrow {OC} = \dfrac{1}{{S_{ABC} + S_{OBC} }}\left( {S_{OCA} \overrightarrow {OB} + S_{OAB} \overrightarrow {OC} } \right)(1)$
$\dfrac{{OA}}{{OD}} = \dfrac{{AD}}{{OD}} + 1 = \dfrac{{S_{ABC} }}{{S_{OBC} }} + 1 = \dfrac{{S_{ABC} + S_{OBC} }}{{S_{OBC} }} $
$\Rightarrow \overrightarrow {OD} = \dfrac{{S_{OBC} }}{{S_{ABC} + S_{OBC} }}.\overrightarrow {OA} (2) $
Từ (1) và (2) suy ra
$S_{OBC} \overrightarrow {OA} = S_{OCA} \overrightarrow {OB} + S_{OAB} .\overrightarrow {OC} $
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}R^2 \sin \left( {2\pi - 2A} \right).\overrightarrow {OA} = \dfrac{1}{2}R^2 \sin 2B.\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{2}R^2 \sin 2C.\overrightarrow {OC} $
$\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\sin 2A + \overrightarrow {OB.} \sin 2B + \overrightarrow {OC} .\sin 2C = \overrightarrow 0 $
Vậy trong mọi tam giác ABC,ta luôn cò :
$\overrightarrow {OA} .\sin 2A + \overrightarrow {OB.} \sin 2B + \overrightarrow {OC} .\sin 2C = \overrightarrow 0 $
P/s:Kết quả cũng chính là kết quả mở rộng của câu f (M nằm ngoài tam giác )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 30-10-2010 - 23:16

[dark templar]

d) Chứng minh rằng nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì :
$ \dfrac{ \vec{IA} }{ h_{a} } + \dfrac{ \vec{IB} }{ h_{b} } + \dfrac{ \vec{IC} }{ h_{c} } = \vec{0} $ và $ a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC} = \vec{0}$.

Chém luôn câu d vậy!!
Gọi D là giao điểm của IA với BC
Theo tính chất đường phân giác ,ta có :
$\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{b}{c} \Rightarrow \overrightarrow {DB} = - \dfrac{c}{b}\overrightarrow {DC} $
$\Rightarrow \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {ID} = \overrightarrow {DB} = - \dfrac{c}{b}\overrightarrow {DC} = - \dfrac{c}{b}\left( {\overrightarrow {IC} - \overrightarrow {ID} } \right)$
$\Rightarrow b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = (b + c)\overrightarrow {ID} (1)$
$\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{c}{b} \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DC + DB}} = \dfrac{c}{{b + c}} \Rightarrow DB = \dfrac{{ac}}{{b + c}} $
Tiếp tục áp dụng tính chất đường phân giác ,ta có :
$\dfrac{{ID}}{{IA}} = \dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{\dfrac{{ac}}{{b + c}}}}{c} = \dfrac{a}{{b + c}} \Rightarrow \overrightarrow {ID} = - \dfrac{a}{{b + c}}\overrightarrow {IA} $
$\Rightarrow (b + c)\overrightarrow {ID} = - a\overrightarrow {IA} (2) $
Từ (1) và (2) suy ra
$a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 (dpcm)$
Ta có $a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{{2S_{ABC} }}{{h_a }}\overrightarrow {IA} + \dfrac{{2S_{ABC} }}{{h_b }}\overrightarrow {IB} + \dfrac{{2S_{ABC} }}{{h_c }}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {IA} }}{{h_a }} + \dfrac{{\overrightarrow {IB} }}{{h_b }} + \dfrac{{\overrightarrow {IC} }}{{h_c }} = \overrightarrow 0 (dpcm)$

[CD13]

Câu a còn đựoc phát biểu rộng hơn với n điểm, cụ thể:
Cho $\sum_{i=1}^{n}\alpha _i=1\\ $
nếu $\sum_{i=1}^{n}\alpha _i\overrightarrow{MA_i}=\overrightarrow{0}$ thì M được goi là tâm tỉ cự của hệ điểm $A_i$ và $\alpha _i$ là tọa độ tâm tỉ cự.
Câu b thì dựa vào câu a thì có ngay kết quả

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 31-10-2010 - 11:52

[hienhien]

Bạn dark templar ơi, bạn có thể giải giùm mình các câu còn lại không?
mình sắp kiểm tra rồi, cần có thật nhiều bài tập để ôn.Cảm ơn bạn!