Chủ đề này có 29 trả lời

[quanganhct]

giup em bai nay:
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$. Tìm GTLN:
$A=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Bài này bảo giải theo cách THCS thì chưa tìm ra, nhưng nếu giải theo cách THPT, thì :
xét $f(x)=\sqrt{1+x^2}+3\sqrt{x}$
có $f''(x)=\dfrac{1}{\sqrt{(1+x^2)^3}}-\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{\sqrt{x^3}} <0$ (dùng Cauchy)
Suy ra hàm lồi.
Suy ra
$A=f(x)+f(y)+f(z) \leq 3f(\dfrac{x+y+z}{3})=3.(\sqrt{2}+3)$

[windkiss]

Hôm trước, ồng thầy CM một BDT có viết thế này:
$ \dfrac{1}{2x+y+z} $ $ \dfrac{1}{9}( \dfrac{1}{2x} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$
Tại sao lại thế, mọi người giải thích giùm em được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi windkiss: 14-11-2010 - 20:03

[NguyThang khtn]

cai nay la BDt co ban ma:
$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{a+b+c}$
voi a=2x ; b=y ; c=z!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 14-11-2010 - 20:38

[NguyThang khtn]

Bài này bảo giải theo cách THCS thì chưa tìm ra, nhưng nếu giải theo cách THPT, thì :
xét $f(x)=\sqrt{1+x^2}+3\sqrt{x}$
có $f''(x)=\dfrac{1}{\sqrt{(1+x^2)^3}}-\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{\sqrt{x^3}} <0$ (dùng Cauchy)
Suy ra hàm lồi.
Suy ra
$A=f(x)+f(y)+f(z) \leq 3f(\dfrac{x+y+z}{3})=3.(\sqrt{2}+3)$

anh oi bai nay la cua THCs ma!

[monkey_goodluck]

uhm, chủ yếu là bài 1 thôi chứ bài 2 cũng BT, em vừa lấy thêm được 1 bài, mọi người chém tiếp nhá
CMR
$ \dfrac{1}{ a^{2}+1 }+ \dfrac{1}{ b^{2}+1 }$ $ \dfrac{2}{ab+1 }$
(ab>1)

$\begin{array}{l}
\dfrac{{a^2 + b^2 + 2}}{{(a^2 + 1)(b^2 + 1)}} \ge \dfrac{2}{{ab + 1}} \\
a^3 b + ab^3 + 2ab + a^2 + b^2 + 2 \ge 2a^2 b^2 + 2a^2 + 2b^2 \\
a^3 b + ab^3 + 2ab(1 - ab) - a^2 - b^2 \ge 0 \\
(ab - 1)(a^2 + b^2 - 2ab) \ge 0 \\
(ab - 1)(a - b)^2 \ge 0 \\
\end{array}$

với ab>1
điều nay` la` hiển nhiên

a` mà tiện thể tớ muốn hỏi tớ không biết vì sao lại có cái < br/ > bên trên nữa

[quanganhct]

giup em bai nay:
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$. Tìm GTLN:
$A=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Hôm nay nhìn lại bài này, đột nhiên thấy nó cực dễ, chẳng qua là do mình làm cho nó phức tạp lên thôi.

$\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2x}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{2y}+\sqrt{1+z^{2}}+\sqrt{2z}$
$\leq \sqrt{2}\sqrt{1+x^2+2x}+\sqrt{2}\sqrt{1+y^2+2y}+\sqrt{2}\sqrt{1+z^2+2z}$
$=\sqrt{2}(3+x+y+z)=6\sqrt{2}$ (1)

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \leq \sqrt{3}\sqrt{x+y+z}=3$
$(3-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}) \leq 3(3-\sqrt{2})$ (2)
Cộng (1) với (2) ra :
$A \leq 6\sqrt{2} + 3(3-\sqrt{2})=9+3\sqrt{2}$
DTXR khi x=y=z=1

[h.vuong_pdl]

$\begin{array}{l}\dfrac{{a^2 + b^2 + 2}}{{(a^2 + 1)(b^2 + 1)}} \ge \dfrac{2}{{ab + 1}} \\ a^3 b + ab^3 + 2ab + a^2 + b^2 + 2 \ge 2a^2 b^2 + 2a^2 + 2b^2 \\ a^3 b + ab^3 + 2ab(1 - ab) - a^2 - b^2 \ge 0 \\ (ab - 1)(a^2 + b^2 - 2ab) \ge 0 \\ (ab - 1)(a - b)^2 \ge 0 \\
\end{array}$

với ab>1
điều nay` la` hiển nhiên

a` mà tiện thể tớ muốn hỏi tớ không biết vì sao lại có cái < br/ > bên trên nữa

p/s: cái <br/> là do cậu cách thừa, sửa rồi đó xem!

[windkiss]

Còn bài này thì sao? Đề tương tự như bài 2 thì phải
Cho 0<a,b,c<1
CMR
$ 2 a^{3} +2 b^{3}+2 c^{3}$ < $ 3+ a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi windkiss: 21-11-2010 - 22:37

[windkiss]

Còn bài này thì sao? Đề tương tự như bài 2 thì phải
Cho 0<a,b,c<1
CMR
$ 2 a^{3} +2 b^{3}+2 c^{3}$ < $ 3+ a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Trời, chép đề xong mới thấy dễ quá trời, hay tại muộn rồi buồn ngủ nên nhầm nhỉ, mọi người xem có đúng ko

$ 2 a^{3} +2 b^{3}+2 c^{3}$ <$ 3+ a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
$ a^{2} (2a-b) +b^{2}(2b-c)+c^{2}(2c-a) $ <3
Mà $a<1 $ $ a^{2}<1 $
$ b<1 $ $ b^{2}<1 $
$ c<1 $ $ c^{2}<1 $
Do đó
$ a^{2} (2a-b) +b^{2}(2b-c)+c^{2}(2c-a) $ <$ 2a-b +2b-c+2c-a =a+b+c <3 $ (đccm)

[NguyThang khtn]

chuan ko can chinh!