Đến nội dung

Hình ảnh

xin giup em 1 bài toán

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
my_ha_123

my_ha_123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
chưng minh rằng :tích của 3 số nguyên liên tiếp, trong đó có số đứng giữa của chúng là lập phương của một số tự nhiên, chia hết cho 504

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi my_ha_123: 17-12-2010 - 19:09


#2
quanganhct

quanganhct

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

chưng minh rằng :tích của 3 số nguyên liên tiếp, trong đó có số đứng giữa của chúng là lập phương của một số tự nhiên, chia hết cho 504


Tích đã cho là :
$P = (x^3-1) x^3 (x^3 +1) = (x-1)(x+1)x^3 (x^2+x+1)(x^2-x+1)$
Nếu x chẵn thì $x^3 \vdots 2^3 =8$
Nếu x lẻ thì (x-1)(x+1) chia hết cho 2.4=8 (2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 4)
Vậy P luôn chia hết cho 8.

Tiếp theo ta CM P chia hết cho 9
$P = (x-1) x (x+1) x^2 (x^2 + x + 1 ) (x^2 - x +1 )$
(x-1) x (x+1) chia hết cho 3 (tích 3 số nguyên liên tiếp)
Nếu x chia hết cho 3, P đương nhiên chia hết cho 9
Nếu x chia 3 dư 1 , khi đó $x^2+x+1 \vdots \ 3$ nên P chia hết cho 3.3=9
Nếu x chia 3 dư 2 , $x^2-x+1 \vdots \ 3$ nên P chia hết cho 3.3 =9

Vậy P chia hết cho 9

Tiếp theo ta cm P chia hết cho 7
x chia 7 dư 0, hiển nhiên P chia hết cho 7
x chia 7 dư 1 thì x-1 chia hết cho 7, suy ra P chia hết cho 7
x chia 7 dư 6 thì x+1 chia hết cho 7, suy ra P chia hết cho 7
x chia 7 dư 3 hoặc 5 thì $x^2-x+1 \vdots \ 7$, suy ra P chia hết cho 7
x chia 7 dư 2 hoặc 4 thì $x^2+x+1 \vdots \ 7$ suy ra P chia hết cho 7

Vậy P luôn chia hết cho 7

7,8,9 nguyên tố cùng nhau đôi một, suy ra P chia hết cho 7.8.9=504

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanganhct: 17-12-2010 - 23:17

Cách cảm ơn tớ hay nhất là bấm nút thanks !

#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Ta có
$ P=(n-1)^3n^3(n-1)^3=n^3(n^6-1)=n^3(n^2-1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$
Nếu n :D 7 thì P chia hết cho 7
nếu n không chia hết cho 7, theo định lý Fermat nhỏ
$n^6 \equiv 1 (mod 7) \Leftrightarrow n^6-1 \vdots 7$
Vậy P chia hết cho 7
- Nếu n chẵn :D $n^3 \vdots 8 $
- Nếu n=2k+1 :Rightarrow $n^2-1=4k(k+1) \vdots 8$
Vậy P chia hết cho 8
- Nếu n chia hết 3 :Rightarrow P chia hết 9
- Nếu n không chia hết cho 3 :Rightarrow $n^2-1 \vdots 3$ (Cũng từ ĐL Fermat nhỏ)
+ n=3k+1 :Rightarrow $n^2+n+1=9k^2+9k+3 \vdots 3$
+ n=3k+2 :Rightarrow $n^2-n+1=9k^2+9k+3 \vdots 3$
:Rightarrow P chia hết cho 9

7,8,9 đôi một nguyên tố cùng nhau
Nên ta có P chia hết cho 7.8.9=504

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 19-12-2010 - 00:17





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh