Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi my_ha_123: 17-12-2010 - 19:09
xin giup em 1 bài toán
Bắt đầu bởi my_ha_123, 17-12-2010 - 19:08
#1
Đã gửi 17-12-2010 - 19:08
chưng minh rằng :tích của 3 số nguyên liên tiếp, trong đó có số đứng giữa của chúng là lập phương của một số tự nhiên, chia hết cho 504
#2
Đã gửi 17-12-2010 - 23:16
chưng minh rằng :tích của 3 số nguyên liên tiếp, trong đó có số đứng giữa của chúng là lập phương của một số tự nhiên, chia hết cho 504
Tích đã cho là :
$P = (x^3-1) x^3 (x^3 +1) = (x-1)(x+1)x^3 (x^2+x+1)(x^2-x+1)$
Nếu x chẵn thì $x^3 \vdots 2^3 =8$
Nếu x lẻ thì (x-1)(x+1) chia hết cho 2.4=8 (2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 4)
Vậy P luôn chia hết cho 8.
Tiếp theo ta CM P chia hết cho 9
$P = (x-1) x (x+1) x^2 (x^2 + x + 1 ) (x^2 - x +1 )$
(x-1) x (x+1) chia hết cho 3 (tích 3 số nguyên liên tiếp)
Nếu x chia hết cho 3, P đương nhiên chia hết cho 9
Nếu x chia 3 dư 1 , khi đó $x^2+x+1 \vdots \ 3$ nên P chia hết cho 3.3=9
Nếu x chia 3 dư 2 , $x^2-x+1 \vdots \ 3$ nên P chia hết cho 3.3 =9
Vậy P chia hết cho 9
Tiếp theo ta cm P chia hết cho 7
x chia 7 dư 0, hiển nhiên P chia hết cho 7
x chia 7 dư 1 thì x-1 chia hết cho 7, suy ra P chia hết cho 7
x chia 7 dư 6 thì x+1 chia hết cho 7, suy ra P chia hết cho 7
x chia 7 dư 3 hoặc 5 thì $x^2-x+1 \vdots \ 7$, suy ra P chia hết cho 7
x chia 7 dư 2 hoặc 4 thì $x^2+x+1 \vdots \ 7$ suy ra P chia hết cho 7
Vậy P luôn chia hết cho 7
7,8,9 nguyên tố cùng nhau đôi một, suy ra P chia hết cho 7.8.9=504
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanganhct: 17-12-2010 - 23:17
Cách cảm ơn tớ hay nhất là bấm nút thanks !
#3
Đã gửi 18-12-2010 - 00:50
Ta có
$ P=(n-1)^3n^3(n-1)^3=n^3(n^6-1)=n^3(n^2-1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$
Nếu n 7 thì P chia hết cho 7
nếu n không chia hết cho 7, theo định lý Fermat nhỏ
$n^6 \equiv 1 (mod 7) \Leftrightarrow n^6-1 \vdots 7$
Vậy P chia hết cho 7
- Nếu n chẵn $n^3 \vdots 8 $
- Nếu n=2k+1 $n^2-1=4k(k+1) \vdots 8$
Vậy P chia hết cho 8
- Nếu n chia hết 3 P chia hết 9
- Nếu n không chia hết cho 3 $n^2-1 \vdots 3$ (Cũng từ ĐL Fermat nhỏ)
+ n=3k+1 $n^2+n+1=9k^2+9k+3 \vdots 3$
+ n=3k+2 $n^2-n+1=9k^2+9k+3 \vdots 3$
P chia hết cho 9
7,8,9 đôi một nguyên tố cùng nhau
Nên ta có P chia hết cho 7.8.9=504
$ P=(n-1)^3n^3(n-1)^3=n^3(n^6-1)=n^3(n^2-1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$
Nếu n 7 thì P chia hết cho 7
nếu n không chia hết cho 7, theo định lý Fermat nhỏ
$n^6 \equiv 1 (mod 7) \Leftrightarrow n^6-1 \vdots 7$
Vậy P chia hết cho 7
- Nếu n chẵn $n^3 \vdots 8 $
- Nếu n=2k+1 $n^2-1=4k(k+1) \vdots 8$
Vậy P chia hết cho 8
- Nếu n chia hết 3 P chia hết 9
- Nếu n không chia hết cho 3 $n^2-1 \vdots 3$ (Cũng từ ĐL Fermat nhỏ)
+ n=3k+1 $n^2+n+1=9k^2+9k+3 \vdots 3$
+ n=3k+2 $n^2-n+1=9k^2+9k+3 \vdots 3$
P chia hết cho 9
7,8,9 đôi một nguyên tố cùng nhau
Nên ta có P chia hết cho 7.8.9=504
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 19-12-2010 - 00:17
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh