Sequence:
chứng minh dãy số $\left\{ {a_n } \right\}$ hội tụ :$a_n = \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^{n + 1} \left( {n \ge 3} \right)$
Lâu quá rồi mà ko thấy ai trả lời .Thôi mình giải bài dãy trên rồi post tiếp vài bài dãy nữa!
Dể dàng nhận thấy dãy trên bị chặn dưới bởi 0.Ta chỉ cần chứng minh dãy này là dãy giảm nữa là xong !
Điều cần phải chứng minh tương đương với :
$\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^{n + 1} > \left( {1 + \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)^{n + 2} \Leftrightarrow \left( {n + 1} \right)\ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \left( {n + 2} \right)\ln \left( {1 + \dfrac{1}{{n + 1}}} \right) $
$f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\ln \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {x > 0} \right) $
$f'\left( x \right) = \ln \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {x + 1} \right).\dfrac{{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{x^2 }}} \right)}}{{1 + \dfrac{1}{x}}} = \ln \left( {x + 1} \right) - \ln x - \dfrac{1}{x} $
Sử dụng định lý Lagrange cho hàm số $y=lnt$ với $t \in [x;x+1]$,tồn tại 1 số $c \in (x;x+1)$ sao cho:
$f'\left( c \right) = \dfrac{1}{c} = \dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right) - \ln x}}{{x + 1 - x}} = \ln \left( {x + 1} \right) - \ln x < \dfrac{1}{x}$
Như vậy ta đã chứng minh đc đạo hàm của hàm $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\ln \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)$ luôn âm với mọi x dương ,suy ra hàm số nghịch biến ,suy ra $f(n+1)<f(n)$ hay $\left( {n + 1} \right)\ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \left( {n + 2} \right)\ln \left( {1 + \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)$
1 vài bài dãy nữa :
1/Cho $f\left( n \right) = \left( {n^2 + n + 1} \right)^2 + 1 $
$u_n = \dfrac{{f\left( 1 \right).f\left( 3 \right).....f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( 2 \right).f\left( 4 \right).....f\left( {2n} \right)}},n \in N^* $.Tính $\lim n\sqrt{u_n}$
2/Cho dãy $\left\{ {a_n } \right\}:\left\{ \begin{array}{l}a_1 = 1 \\ a_n = \left( {a_{n - 1}^{\dfrac{{ - 7}}{3}} + 1} \right)^{\dfrac{{ - 3}}{{13}}} ,n \ge 2 \\ \end{array} \right.$.
Chứng minh dãy trên có giới hạn và nếu đặt $x_0=-\lim a_n$ thì $x_0$ là nghiệm của pt $x^{13}-x^6+3x^4-3x^2+1=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 22-01-2011 - 21:14