Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng $f(x)$ có thể viết dưới dạng tổng bình phương của hai nhị thức bậc nhất.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-07-2005 - 11:53

Tam thức bậc hai $f(x)$ luôn dương với mọi $x$. Chứng minh rằng $f(x)$ có thể viết dưới dạng tổng bình phương của hai nhị thức bậc nhất.
1728

#2 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 07-09-2012 - 18:20

Làm thử :D
Viết $f(x)$ dưới dạng chính tắc
$f(x)=a\left ( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )-\frac{\Delta }{4a^{2}} \right )$
Ta có: $af(x)>0$ $\Leftrightarrow$ $a>0 \wedge \Delta <0$
Từ bất đẳng thức $0<b^{2} <4ac$
Ta suy ra được $c>0$
Tổng bình phương 2 nhị thức bậc nhất là
$(dx+e)^{2}+(fx+g)^{2}=(d^{2}+f^{2})x^{2}+2(de+fg)x + e^{2}+g^{2}$
Nhận thấy

$\left\{\begin{matrix}
\begin{matrix}
j: \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}_{+} \\
(d,f) \mapsto a=d^{2}+f^2
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
i: \mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}\\
(d,e,f,g) \mapsto \frac{b}{2}= de+fg \\
\begin{matrix}
m: \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}_{+}\\
(e,g) \mapsto c=e^{2} + g^{2}
\end{matrix}
\end{matrix}

\end{matrix}\right.$
đều là toàn ánh nên ta có đpcm
Hình đã gửi

#3 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 08-09-2012 - 19:30

r làm thử ^^~
-Ta xét $g(x)=2x^2+2ux+v$
-Để $g(x)$ luôn dương thì: $u^2-2v<0$ Hay $2v>u^2>0$
-Ta xét $g(x)$ viết thành tổng 2 nhị thức bậc 2:
$g(x)=2x^2+2ux+v=(x+m)^2+(x+n)^2=2x^2+2(m+n)x+m^2+n^2$
Đồng nhất 2 đa thức, ta có:
$\begin{cases}
& \ m+n=u \\
& \ m^2+n^2=v
\end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}
& \ m+n=u \\
& \ 4mn=2u^2-2v
\end{cases}$
Ta có: $S^2-4P=2v-u^2>0$
Nên ta luôn tìm được $m$ và $n$ như vậy.
Ta lấy $f(x)=ag(x)=\left(\sqrt{a}x+m\sqrt{a} \right)^2+\left(\sqrt{a}x+n\sqrt{a} \right)^2$ (Với a dương và $b;c$ tương ứng) mà vẫn không mất tính tổng quát của bài. Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 08-09-2012 - 19:40

^^~

#4 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 08-09-2012 - 19:35

Em xin đưa ra một hướng giải quyết khác
$f(x)=ax^2+bx+c$ để thỏa mãn bài thì ta cần có: $a>0$ và
$$\Delta <0\Leftrightarrow b^2<4ac\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
c>0\\\frac{b}{2\sqrt{ac}}<1

\end{matrix}\right.$$
Theo bài ta cần có $f(x)=(mx+n)^2+(px+q)^2=(m^2+p^2)x^2+2(mn+pq)x+(n^2+q^2)$
Đồng quy hệ số, ta cần có $$\left\{\begin{matrix}
m^2+p^2=a\\mn+pq=\frac{b}{2}
\\ n^2+q^2=c

\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left ( \frac{m}{\sqrt{a}} \right )^2+\left ( \frac{p}{\sqrt{a}} \right )^2=1\\\left ( \frac{n}{\sqrt{c}} \right )^2+\left ( \frac{q}{\sqrt{c}} \right )^2=1
\\ mn+pq=\frac{b}{2}

\end{matrix}\right.$$
Nhìn vào hệ, ta có thể đặt $$\left\{\begin{matrix}
\frac{m}{\sqrt{a}}=sint_1;\frac{p}{\sqrt{a}}=cost_1\\\frac{n}{\sqrt{c}}=sint_2;\frac{q}{\sqrt{c}}=cost_2

\end{matrix}\right.$$
Thay vào pt còn lại trong hệ, ta được $$\sqrt{ac}(sint_1.sint_2+cost_1.cost_2)=\frac{b}{2}\Leftrightarrow cos(t_1-t_2)=\frac{b}{2\sqrt{ac}}$$
Theo trên, ta có $\Delta <0\Rightarrow \frac{b}{2\sqrt{ac}}< 1\Rightarrow cos(t_1-t_2)<1$ luôn đúng. Vậy ta đã có niềm tin là ta đã đi đúng, bây giờ chỉ việc kiểm tra lại
Chọn hai góc $t_1,t_2$ sao cho $cos(t_1-t_2)=\frac{b}{2\sqrt{ac}}$, ta được
$$f(x)=(\sqrt{a}.sint_1.x+\sqrt{c}.sint_2)^2+(\sqrt{a}.cost_1.x+\sqrt{c}.cost_2)^2$$
$$=a.x^2+2\sqrt{ac}.(sint_1sint_2+cost_1cost_2).x+c=ax^2+2\sqrt{ac}.cos(t_1-t_2).x+c=ax^2+bx+c$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 08-09-2012 - 19:40


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-09-2012 - 20:04

Chấm điểm:
robin997:10 điểm

le_hoang1995: 5 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh