Thời gian làm bài 180 phút
Ngày thi thứ nhất 11/1/2011
Bài 1(5.0 điểm)
Cho $x$ là số thực dương và $n$ là số nguyên dương. Chứng minh bất đẳng thức:
$\dfrac{x^n \left( x^{n+1}+1 \right)}{x^n+1} \le \left( \dfrac{x+1}{2} \right)^{2n+1}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?Bài 2:(5.0 điểm)
Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định bởi:
$x_1=1;x_n=\dfrac{2n}{(n-1)^2} \sum_{i=1}^{n-1} x_i $
Chứng minh rằng dãy $y_n=x_{n+1}-x_n$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$Bài 3 (5.0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $P$ là một điểm trên tiếp tuyến của $(O)$ tại $B \; (P \ne B)$. Đường thẳng $AP$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua $O$. Đường thẳng $DP$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E$.
- Chứng minh rằng $AE,BC,PO$ đồng quy tại $M$
- Tìm vị trí của $P$ để diện tích tam giác $AMB$ lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R$ là bán kính của $(O)$
Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ có các cạnh và 2 đường chéo $AC,AD$ có độ dài không vượt quá $\sqrt3$. Trong ngũ giác lồi lấy $2011$ điểm phân biệt bất kì. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác lồi $ABCDE$ và chứa ít nhất $403$ điểm trong số $2011$ điểm đã cho
Chú ý:thí sinh không được sử dụng tài liệu nào khác hay máy tính cầm tay
------------------------------------------------------Hết ngày thi thứ nhất------------------------------------------------------
Đề Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học
Thời gian làm bài 180 phút
Ngày thi thứ hai 12/1/2011
Bài 4 (7 điểm):
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định bởi:
$a_0 =1; a_1=-1 $;
$a_n=6a_{n-1} + 5a_{n-2}$ với mọi $n \geq 2$
Chứng minh rằng $a_{2012}-2010$ chia hết cho $2011$
Bài 6 (7 điểm):
Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$ và có các góc $ABC$, $ACB$ là các góc nhọn. Xét 1 điểm $D$ di động trên cạnh $BC$ sao cho
$D$ không trùng với $B, C$ và hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng $d$ vuông góc với $BC$ tại $D $cắt đường thẳng $AB$,
$AC$ tương ứng tại $E$ và$ F$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AEF, BDE$ và $CDF$. Chứng minh rằng
4 điểm $A, M, N, P$ cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng $d$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$
Bài 7: (6 điểm)
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức
$P(x,y) = x^n + xy + y^n$ không thể viết dưới dạng
$P(x,y) = G(x,y).H(x,y)$
Trong đó $G(x,y)$ và $H(x,y)$ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng.
------------------------------------Hết-----------------------------
Anh chị nào thi học sinh giỏi quốc gia vào báo danh nhé ^^
