Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số giữa 1 số nguyên dương có 4 chữ số và tổng các chữ số của nó.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 24-01-2011 - 20:19

tìm giá trị lớn nhất của tỉ số giữa 1 số nguyên dương có 4 chữ số và tổng các chữ số của nó. (Một bài trong kì thi học sinh giỏi tỉnh bến tre!)

Nói cách khác:
Cho $a,b,c,d \in \left\{ {0,1,...,9} \right\}(a \ne 0)$

Tìm Max của biểu thức :$A = \dfrac{{1000a + 100b + 10c + d}}{{a + b + c + d}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 07-12-2011 - 18:56

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3797 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 25-01-2011 - 20:27

Cho $a,b,c,d \in \left\{ {0,1,...,9} \right\}(a \ne 0)$

Tìm Max của biểu thức :$A = \dfrac{{1000a + 100b + 10c + d}}{{a + b + c + d}}$


$max A = 1000$ với $a \in \{ 1,2,3,...,8, 9 \}$ và $b = c = d = 0$
Thật vây, giả sử có bộ $(a,b,c,d)$ mà $A > 1000$. Khi đó
$A = \dfrac{{1000a + 100b + 10c + d}}{{a + b + c + d}}$
$\small \Leftrightarrow (1000 - A)a + (100 - A)b + (10 - A)c + (1 - A)d = 0 (*)$
Có $a > 0, b, c, d$ không âm, mà $(1000 - A), (100 - A), (10 - A), (1 - A)$ đều âm.
Suy ra $VT(1) < 0$. Mâu thẫu.

Vậy $max A = 1000$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 25-11-2012 - 11:31

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3797 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 07-12-2011 - 20:06

Tổng quát:
Với mỗi số nguyên dương $n$ có $k$ chữ số $(k>1)$, gọi $s(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong hệ thập phân.
Ứng với mỗi $k>1$, gọi
$$M(k) = \max \left \{ \frac{n}{s(n)}|{10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \};$$
$$m(k) = \min \left \{ \frac{n}{s(n)} | {10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \}$$

Có thể biểu diễn $M(k), m(k)$ theo $k$ hay không?

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-12-2012 - 16:34

Max thì dễ rồi ( :P) theo lời giải của thầy Thế $M(k)=10^{k-1}$
Bài toán chỉ còn phải tìm min

Với $k=1$ dễ thấy $m(1)=1$
Với $k=2$ cũng vậy $m(2)=\dfrac{19}{10}$
Với $k=3$ thì $m(3)=\dfrac{199}{19}$
Mấy cái trên cũng không khó khăn lắm để kiểm tra :D. Tuy nhiên chớ có vội mừng ...

Với $k=4$ thì $m(4)=\dfrac{1099}{19}$ cơ!
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng

$m(k)=\mathop\min\limits_{\left\{10^{k-1}\le n\le 10^k-1\right\}}\dfrac{n}{s(n)}=\dfrac{10^{k-1}+10^{k-2}-1}{9k-17}\qquad(k\ge 4)$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#5 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 13-12-2012 - 23:02

Max thì dễ rồi ( :P) theo lời giải của thầy Thế $M(k)=10^{k-1}$
Bài toán chỉ còn phải tìm min

Với $k=1$ dễ thấy $m(1)=1$
Với $k=2$ cũng vậy $m(2)=\dfrac{19}{10}$
Với $k=3$ thì $m(3)=\dfrac{199}{19}$
Mấy cái trên cũng không khó khăn lắm để kiểm tra :D. Tuy nhiên chớ có vội mừng ...

Với $k=4$ thì $m(4)=\dfrac{1099}{19}$ cơ!
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng

$m(k)=\mathop\min\limits_{\left\{10^{k-1}\le n\le 10^k-1\right\}}\dfrac{n}{s(n)}=\dfrac{10^{k-1}+10^{k-2}-1}{9k-17}\qquad(k\ge 4)$


Bài giải của chú hxthanh đã sai!

Giá trị $m(k)$ ở trên đạt được khi n có dạng $1099....9$

nhưng với thuật toán em đang làm thì chẳng hạn với $k=15 $, $m(15)$ xảy ra khi $n=100999999999999$ như trong minh họa hình bên dưới, dễ dàng thấy rằng

$\dfrac{100999999999999}{109}<\dfrac{109999999999999}{118} $

Ngày mai em sẽ post lời giải 3 trang cho bài này sau.

Hình đã gửi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 13-12-2012 - 23:03

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#6 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-12-2012 - 23:43

Em nhận định rất đúng!
Ban đầu tôi đã đưa ra thuật toán tính số các số $0$ ngay sau số $1$ là
$\left\lfloor\log_{10}(9k)\right\rfloor$
Nhưng thử lại thấy cái này không đúng với $k=12$
Do đó tôi mới đặt ra giả thiết rằng $k\ge 4$ thì $m(k)$ xảy ra tại $n=1099...$
Rồi cố gắng tìm cách quy nạp, nhưng quả thực nó có vấn đề...
Vì vậy ... :))
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#7 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 14-12-2012 - 01:58

Em nhận định rất đúng!
Ban đầu tôi đã đưa ra thuật toán tính số các số $0$ ngay sau số $1$ là
$\left\lfloor\log_{10}(9k)\right\rfloor$
Nhưng thử lại thấy cái này không đúng với $k=12$
Do đó tôi mới đặt ra giả thiết rằng $k\ge 4$ thì $m(k)$ xảy ra tại $n=1099...$
Rồi cố gắng tìm cách quy nạp, nhưng quả thực nó có vấn đề...
Vì vậy ... :))


Nếu em không sai sót thì

$m(k)$ xảy ra tại $n=100....999$ có $k-M-2$ số 0

Với $M=\max \{ x \in \mathbb{N}, x.10^x \le \dfrac{10^{k-1}-1}{9} \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 14-12-2012 - 02:00

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#8 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-12-2012 - 08:13

Nếu em không sai sót thì

$m(k)$ xảy ra tại $n=100....999$ có $k-M-2$ số 0

Với $M=\max \{ x \in \mathbb{N}, x.10^x \le \dfrac{10^{k-1}-1}{9} \}$

Cái này $x.10^x \le \dfrac{10^{k-1}-1}{9}$ thì đúng rồi, nhưng vấn đề phải tìm được giá trị cụ thể chứ không thì bài toán đâu còn ý nghĩa nữa! :D
(Chính xác phải là số tự nhiên $x$ lớn nhất thoả mãn $x.10^x \le \dfrac{10^{k-1}-1}{9}$)
Vì cảm tính (ẩu) tôi đã làm như sau:
Dễ thấy $x\le k-2$;
rồi không nhớ làm cách nào tôi ước lượng được $\max x=k-2-\left\lfloor\log_{10}(9k)\right\rfloor$
cứ tưởng đúng, ai ngờ ... :D

Thực tế phải dùng đến hàm cao cấp để biểu diễn giá trị này

$\max x=\left\lfloor\dfrac{W\left(\frac{10^{k-1}-1}{9}\cdot\ln 10\right)}{\ln 10}\right\rfloor$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#9 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-12-2012 - 20:27

Cuối cùng tôi cũng tìm thấy một quy luật đáng tin cậy sau:
\begin{array}{|c|}
\hline\\
\text{Đặt $k_i=\dfrac{10^{i+1}+9i+17}{9}$ với $i=-1,0,1,2,...$}\\
\text{Với $k_{i-1}< k\le k_i$ ta có: $m(k)=\dfrac{10^{k-1}+10^{k-1-i}-1}{9(k-1-i)+1}$}\\
\text{đạt được tại $n=10..09...9$ với $i$ số $0$}\\
\hline
\end{array}
...
Xuất phát từ việc tìm dãy nghiệm nguyên lớn nhất của dãy bất phương trình

$\dfrac{10^{k-1}+10^{k-1}-1}{9(k-1)+1}<\dfrac{10^{k-1}+10^{k-2}-1}{9(k-2)+1}<\dfrac{10^{k-1}+10^{k-3}-1}{9(k-3)+1}<...<\dfrac{10^{k-1}+10^{k-1-i}-1}{9(k-1-i)+1}<...$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#10 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 14-12-2012 - 22:55

Tổng quát:
Với mỗi số nguyên dương $n$ có $k$ chữ số $(k>1)$, gọi $s(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong hệ thập phân.
Ứng với mỗi $k>1$, gọi
$$M(k) = \max \left \{ \frac{n}{s(n)}|{10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \};$$
$$m(k) = \min \left \{ \frac{n}{s(n)} | {10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \}$$

Có thể biểu diễn $M(k), m(k)$ theo $k$ hay không?


Giả sử n có dạng $ \overline{a_1a_2...a_k} $ , $ a_1;a_2;..;a_k \in \{0;1;...;9\} ,a_1>0 $

Xét $ P=\dfrac{n}{s(n)}=\dfrac{10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+...+a_k}{a_1+a_2+...+a_k} \; \; (*)$


$ (*) \Leftrightarrow 0= \sum_{i=1}^k (10^{k-i}-P)a_i \le (10^{k-1}-P) \sum_{i=1}^k a_i$

Do $\sum_{i=1}^k a_i >0 $ nên phải có $ P \le 10^{k-1}$

Cho $a_i=0 \; \forall i>1 $ , khi đó $ P=\dfrac{10^{k-1}a_1}{a_1}=10^{k-1} $

Do đó $ Max P=10^{k-1} $ hay

$$M(k) =10^{k-1} $$


Đặt $ x_i=\frac{a_{i+1}}{a_1} \; , i \in \{1;2...;k-1\} $ và quy ước $x_i =0 ,\;\forall i \le 0 $

$ \Rightarrow 0 \le x_i \le 9 \; , \forall i \in \{1;2...;k-1\} $

Khi đó, $P=\dfrac{10^{k-1}+10^{k-2}x_1+...+x_{k-1}}{1+x_1+x_2+...+10x_{k-2}+x_{k-1}}$

$ \Leftrightarrow P-1= \dfrac{10^{k-1}-1+(10^{k-2}-1)x_1+...+9x_{k-2}}{1+x_1+x_2+...+x_{k-1}} $

Với $k=2 $

$P-1=\dfrac{9}{1+x_1} \ge \dfrac{9}{10} $

$ \Leftrightarrow P \ge \dfrac{19}{10} $, dấu bằng xảy ra khi $n=19 $

Với $ k>2 $

$ P-1 \ge \dfrac{10^{k-1}-1+(10^{k-2}-1)x_1+...+(100-1)x_{k-3}+9x_{k-2}}{10+x_1+x_2+...+x_{k-2}} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{P-1}{9} \ge \dfrac{\frac{10^{k-1}-1}{9}+\frac{10^{k-2}-1}{9} x_1+...+11x_{k-3}+x_{k-2}}{10+x_1+x_2+...+x_{k-2}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{P-1}{9}-1 \ge \dfrac{\frac{10^{k-1}-1}{9}-10+\frac{10^{k-2}-10}{9}x_1+...+10x_{k-3}}{10+x_1+x_2+...+x_{k-2}} \ge \dfrac{\frac{10^{k-1}-1}{9}-10+\frac{10^{k-2}-10}{9}x_1+...+110x_{k-4}+10x_{k-3}}{19+x_1+x_2+...+x_{k-3}} \;\; (**) $

Với $k=3$

$\dfrac{P-1}{9}-1 \ge \dfrac{1}{19} $

$\Leftrightarrow P \ge \frac{199}{19} $ , dấu bằng xảy ra khi $n=199$

Nếu ai có Maple thì dễ dàng thấy được trường hợp $k=2;3$ thì quy luật $n_0$ thỏa $m(k)$ có dạng giống nhau và tính chất đã thay đổi kể từ khi $k \ge 4 $ và thuật toán sau sẽ lý giải cho điều khác biệt đó :ukliam2:


Với $k>3 $ , đặt $ k=3+m \; , m \ge 1$ ( ngồi 2 ngày để tạo ra chỗ này nên cứ xem tiếp đã rồi hãy thắc mắc :icon10: )

$(**) \Leftrightarrow \dfrac{P-1}{9}-1 \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-10+\sum_{i=1}^{m} \frac{10^{m+2-i}-10}{9} x_i}{10+9+\sum_{i=1}^{m}x_i} \;\;\; (***)$

Xét khi m rất lớn ( mục đích là để khi thực hiện p bước thuật toán $\Delta $ dưới đây ta vẫn thu được bất đẳng thức đúng ( vì p khá nhỏ so với m nên hệ số tự do trên tử thức dương)! )

Hệ số của $x_m$ trên tử thức là $10$, do đó

$ \dfrac{P-1}{9}-1-10 \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-10-10(10+9)+\sum_{i=1}^{m-1} \frac{10^{m+2-i}-100}{9}x_i}{10+9+\sum_{i=1}^mx_i} $

$\ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-10-10(10+9)+\sum_{i=1}^{m-1} \frac{10^{m+2-i}-10^2}{9} x_i}{10+2.9+\sum_{i=1}^{m-1}x_i}$

do $\dfrac{10^{m+2}-1}{9}-10-10(10+9) >0 $ vì m rất lớn và $ x_m \le 9$.


Hệ số của $x_{m-1} $ trên tử thức là $10^2 $, do đó

$ \dfrac{P-1}{9}-1-10-10^2 \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-10-10(10+9)-10^2(10+2.9) +\sum_{i=1}^{m-2} \frac{10^{m+2-i}-10^3}{9} x_i}{10+2.9+\sum_{i=1}^{m-1}x_i} $

$\ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-10-10(10+9)-10^2(10+2.9)+\sum_{i=1}^{m-2} \frac{10^{m+2-i}-10^3}{9}x_i}{10+3.9+\sum_{i=1}^{m-2}x_i}$

do $\frac{10^{m+2}-1}{9}-10-10(10+9)-10^2(10+2.9) >0 $ vì m rất lớn và $x_{m-1} \le 9$ .


Đến đây ta đã dần thấy quy luật sau 2 bước của thuật toán sau:

Gọi $\Delta_p$ là bước thứ p của thuật toán $\Delta$ trừ hai vế của bất đẳng thức $(***)$ cho $10^p$ và cho $x_{m-p}=9 $

Ta chứng minh sau p bước ($\frac{10^{m+2}-1}{9} \ge \sum_{i=0}^p 10^i(10+9i)$) thực hiện $\Delta$ , ta thu được bất đẳng thức đúng là:

$\dfrac{P-1}{9}-\sum_{i=0}^p 10^i \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-\sum_{i=0}^p 10^i(10+9i) +\sum_{i=1}^{m-p}\frac{10^{m+2-i}-10^{p+1}}{9}x_i}{10+9(p+1)+\sum_{i=1}^{m-p}x_i} $

Với $p=1;p=2 $ ta đã chứng minh ở trên. Giả sử thu được bất đẳng thức đúng sau khi thực hiện $p$ bước (p thỏa $\frac{10^{m+2}-1}{9} \ge \sum_{i=0}^{p+1} 10^i(10+9i)$), thực hiện trừ 2 vế của bdt cho $10^{p+1} $ ta được bdt :

$\dfrac{P-1}{9}-\sum_{i=0}^{p+1} 10^i \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-\sum_{i=0}^p 10^i(10+9i)-10^{p+1}(10+9(p+1)) +\sum_{i=1}^{m-p-1}( \frac{10^{m+2-i}-10^{p+1}}{9}-10^{p+1}) x_i}{10+9(p+1)+\sum_{i=1}^{m-p}x_i} $

$ \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-\sum_{i=0}^{p+1} 10^i(10+9i) +\sum_{i=1}^{m-p-1}\frac{10^{m+2-i}-10^{p+2}}{9}x_i}{10+9(p+1)+\sum_{i=1}^{m-p}x_i} $

$ \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-\sum_{i=0}^{p+1} 10^i(10+9i) +\sum_{i=1}^{m-p-1}\frac{10^{m+2-i}-10^{p+2}}{9}x_i}{10+9(p+2)+\sum_{i=1}^{m-p-1}x_i} $

do $\frac{10^{m+2}-1}{9}-\sum_{i=0}^{p+1} 10^i(10+9i) >0 $ và $ x_{m-p} \le 9 $

Ta vừa thu được một bất đẳng thức đúng và đây chính là bất đẳng thức thu được với bước $\Delta_{p+1} $

Vậy sau p bước thuật toán $\Delta$ với điều kiện $ \frac{10^{m+2}-1}{9} \ge \sum_{i=0}^p 10^i(10+9i) $ thì ta thu được bất đẳng thức đúng là


$$\dfrac{P-1}{9}-\sum_{i=0}^p 10^i \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-\sum_{i=0}^p 10^i(10+9i) +\sum_{i=1}^{m-p}\frac{10^{m+2-i}-10^{p+1}}{9}x_i}{10+9(p+1)+\sum_{i=1}^{m-p}x_i} \;\;\;(****)$$


Ta có: $\sum_{i=0}^p 10^i(10+9i) =\sum_{i=0}^p 10^i (1+9(i+1) )= \sum_{i=0}^p 10^i +9 \sum_{i=0}^p (i+1) 10^i$

Dễ thu gọn được :

$\sum_{i=0}^p 10^{i}=\dfrac{10^{p+1}-1}{9} $

$9 \sum_{i=0}^p (i+1) 10^i = \dfrac{(p+1)10^{p+2}-(p+2)10^{p+1}+1}{9} $ ( Xét đạo hàm hàm $\sum_{i=0}^p x^{i+1} $ )

Vậy : $\sum_{i=0}^p 10^i(10+9i)=(p+1)10^{p+1} $

Do đó


$$(****) \Leftrightarrow \dfrac{P-1}{9}-\dfrac{10^{p+1}-1}{9} \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-(p+1)10^{p+1} +\sum_{i=1}^{m-p}\frac{10^{m+2-i}-10^{p+1}}{9}x_i}{10+9(p+1)+\sum_{i=1}^{m-p}x_i}$$


Để tìm điểm dừng trong thuật toán, ta phải giải phương trình ẩn p

$\frac{10^{m+2}-1}{9}-(p+1)10^{p+1} \ge 0 $


Đặt $ D=\{ x \in \mathbb{N}, \dfrac{10^{m+2}-1}{9} \ge (x+1) 10^{x+1} \} $

Dễ thấy $ D \neq \varnothing $ vì $ 0 \in D $ $ \Rightarrow \exists p_0=\max D$


Đặt $ A_j=[\dfrac{10^{j+1}-1}{9}+j; \dfrac{10^{j+2}-1}{9}+j] \;\;, j \in \mathbb{N}$ , $ B_j=(\dfrac{10^{j+1}-1}{9}+j; \dfrac{10^{j+2}-1}{9}+j) \;\;, j \in \mathbb{N} $

Dễ thấy rằng $ \cup_{j \in \mathbb{N}} A_j=\mathbb{N}^* $ , do đó $ \exists j \in \mathbb{N}, m \in A_j $

$\forall j_1 \neq j_2 \Rightarrow B_{j_1} \cap B_{j_2}=\varnothing $

do đó, với $m \in \mathbb{N}^* $ cố định cho trước, tồn tại duy nhất $j \in \mathbb{N} $ sao cho $\dfrac{10^{j+1}-1}{9}+j \le m \le \dfrac{10^{j+2}-1}{9}+j $

Với j thỏa điều kiện trên, ta có tính chất ( chưa CM ) : $ p_0=m-j-1 $


Cách khác, sử dụng hàm Lambert , $x=W(x) e^{W(x)} $

Dễ dàng giải được: $ p_0=\left \lfloor \dfrac{\mathbf{W}(\frac{10^{m+2}-1}{9}\ln 10)}{\ln 10} \right \rfloor -1$

Vậy , sau $p_0$ bước thuật toán $\Delta $, ta được bất đẳng thức

$$\dfrac{P-1}{9}-\dfrac{10^{p_0+1}-1}{9} \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-(p_0+1)10^{p_0+1} +\sum_{i=1}^{m-p_0}\frac{10^{m+2-i}-10^{p_0+1}}{9}x_i}{10+9(p_0+1)+\sum_{i=1}^{m-p_0}x_i}$$


$\Leftrightarrow \dfrac{P-1}{9}-\dfrac{10^{p_0+2}-1}{9} \ge \dfrac{\frac{10^{m+2}-1}{9}-(p_0+2)10^{p_0+2} +\sum_{i=1}^{m-p_0-1}\frac{10^{m+2-i}-10^{p_0+2}}{9}x_i}{10+9(p_0+1)+\sum_{i=1}^{m-p_0}x_i} $

$\Leftrightarrow P-10^{p_0+2} \ge \dfrac{10^{m+2}-1-9(p_0+2)10^{p_0+2} +\sum_{i=1}^{m-p_0-1} (10^{m+2-i}-10^{p_0+2})x_i}{10+9(p_0+1)+\sum_{i=1}^{m-p_0}x_i} $

Đặt $f(x_1;x_2;...;x_{m-p_0})=\dfrac{10^{m+2}-1-9(p_0+2)10^{p_0+2} +\sum_{i=1}^{m-p_0-1} (10^{m+2-i}-10^{p_0+2})x_i}{10+9(p_0+1)+\sum_{i=1}^{m-p_0}x_i} $


$f_{x_1}^{'}(x_1;x_2;...;x_{m-p_0}) $

$=\dfrac{(10^{m+1}-10^{p_0+2})(10+9(p_0+1)+\sum_{i=2}^{m-p_0}x_i)-10^{m+2}+1+9(p_0+2)10^{p_0+2}-\sum_{i=2}^{m-p_0-1} (10^{m+2-i}-10^{p_0+2})x_i}{(10+9(p_0+1)+\sum_{i=1}^{m-p_0}x_i)^2}$


$ \ge \dfrac{(10^{m+1}-10^{p_0+2})(10+9(p_0+1)+\sum_{i=2}^{m-p_0}x_i)-10^{m+2}+1+9(p_0+2)10^{p_0+2}-(10^{m+1}-10^{p_0+2})\sum_{i=2}^{m-p_0-1} x_i}{(10+9(p_0+1)+\sum_{i=1}^{m-p_0}x_i)^2} $


$\ge 0$

Do đó,

$f(x_1;x_2;...;x_{m-p_0})$

$\ge f(0;x_2;...;x_{m-p_0})=\dfrac{10^{m+2}-1-9(p_0+2)10^{p_0+2} +\sum_{i=2}^{m-p_0-1} (10^{m+2-i}-10^{p_0+2})x_i}{10+9(p_0+1)+\sum_{i=2}^{m-p_0}x_i} $

$f(x_1;x_2;...;x_{m-p_0}) $ và $f(0;x_2;..;x_{m-p_0}$ có cùng dạng như nhau nên sau khi thực hiện $m-p_0-1$ các bước xét sự biến thiên hàm f theo lần lượt các biến $x_i \;\;\;, i \in \{1;2;...;m-p_0-1\} $

ta thu được

$f(x_1;x_2;...;x_{m-p_0}) \ge f(0;0;..;0;x_{m-p_0}) =\dfrac{10^{m+2}-1-9(p_0+2)10^{p_0+2}}{10+9(p_0+1)+x_{m-p_0}}$


$\ge \dfrac{10^{m+2}-1-9(p_0+2)10^{p_0+2}}{10+9(p_0+1)} $

$\Rightarrow P-10^{p_0+2} \ge \dfrac{10^{m+2}-1-9(p_0+2)10^{p_0+2}}{10+9(p_0+1)} $


$$P \ge \dfrac{10^{m+2}+10^{p_0+2}-1}{9p_0+19} $$

$$\Leftrightarrow {\color{DarkBlue} {P \ge \dfrac{10^{k-1}+10^{p_0+2}-1}{9p_0+19}}} $$

Dấu bằng xảy ra khi $ x_1=...=x_{m-p_0}=0 \;\;, x_{m-p_0+1}=...=x_{k-1}=9 $

hay ${\color{DarkBlue} {m(k)=\dfrac{10^{k-1}+10^{p_0+2}-1}{9p_0+19}} }$

đạt được khi $n=\overline{10..09..9}$ có $ k-p_0-3$ số 0 và $p_0+2$ số 9

Có một điều thú vị là công thức $m(k)$ ở trên đúng với mọi k nguyên dương, tức:



$$m(k)=\dfrac{10^{k-1}+10^{\left \lfloor \dfrac{\textbf{W}(\frac{10^{k-1}-1}{9}\ln 10)}{\ln 10} \right \rfloor +1}-1}{9\left \lfloor \dfrac{\textbf{W}(\frac{10^{k-1}-1}{9}\ln 10)}{\ln 10} \right \rfloor +10} \;\;\; ,\forall k \in \mathbb{N}^* $$


Bài giải có vẻ khủng bố nhưng kết quả thì chắc đúng rồi. Đã test với Maple ! :B)

Thế là đi tông 2 ngày :wacko: :wacko: mà không biết có được 10đ không nữa :lol:

Vẫn tiếp tục tìm công thức tường minh cho $p_0$...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 15-12-2012 - 01:26

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#11 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 14-12-2012 - 23:40

Cuối cùng tôi cũng tìm thấy một quy luật đáng tin cậy sau:
\begin{array}{|c|}
\hline\\
\text{Đặt $k_i=\dfrac{10^{i+1}+9i+17}{9}$ với $i=-1,0,1,2,...$}\\
\text{Với $k_{i-1}< k\le k_i$ ta có: $m(k)=\dfrac{10^{k-1}+10^{k-1-i}-1}{9(k-1-i)+1}$}\\
\text{đạt được tại $n=10..09...9$ với $i$ số $0$}\\
\hline
\end{array}
...
Xuất phát từ việc tìm dãy nghiệm nguyên lớn nhất của dãy bất phương trình

$\dfrac{10^{k-1}+10^{k-1}-1}{9(k-1)+1}<\dfrac{10^{k-1}+10^{k-2}-1}{9(k-2)+1}<\dfrac{10^{k-1}+10^{k-3}-1}{9(k-3)+1}<...<\dfrac{10^{k-1}+10^{k-1-i}-1}{9(k-1-i)+1}<...$


Em nghĩ phải thế này mới đúng ( vì trong đáp án của chú..i có thể âm kìa !)


\begin{array}{|c|}
\hline\\
\text{Đặt $k_i=\dfrac{10^{i}+9i+8}{9}$ với $i=0,1,2,...$}\\
\text{Với $k_{i}< k\le k_{i+1}$ ta có: $m(k)=\dfrac{10^{k-1}+10^{k-1-i}-1}{9(k-1-i)+1}$}\\
\text{đạt được tại $n=10..09...9$ với $i$ số $0$}\\
\hline
\end{array}

Kết quả này hoàn toàn trùng khớp với kết quả $p_0=m-j-1$ như trong bài của em, số chữ số 0 là $m-p_0=j+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 15-12-2012 - 01:58

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#12 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-12-2012 - 00:13

Chóng mặt quá! :wacko: :wacko:

E.Galois: Hic, vượt quá sự tưởng tượng của em
hxthanh: Đề nghị trọng tài PSW chấm 50 điểm cho phudinhgioihan
Yêu cầu phudinhgioihan không xưng hô bằng chú nha :luoi:
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#13 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 22:52

Chấm điểm
phudinhgioihan: 10

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh