Chủ đề này có 4 trả lời

[windkiss]

Tìm giá trị nhỏ nhất của
$ B= a^{3} +b^{3}+c^{3} $ biết $a,b,c> -1$ và $ a^{2} +b^{2}+c^{2}= 12$

[wallunint]

Tìm giá trị nhỏ nhất của
$ B= a^{3} +b^{3}+c^{3} $ biết $a,b,c> -1$ và $ a^{2} +b^{2}+c^{2}= 12$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwars, ta có:
$\begin{gathered}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {a + b + c} \right) \geqslant {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \hfill \\\Rightarrow \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \geqslant \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{a + b + c}} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{a + b + c}} \geqslant \dfrac{{{{12}^2}}}{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{\sqrt {36} }} \hfill \\\end{gathered} $
vậy ${\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)_{\min }} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{\sqrt {36} }}$
đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 12-02-2011 - 20:26

[dark templar]

Áp dụng BDT Cauchy-Schwars, ta có:
$\begin{gathered}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {a + b + c} \right) \geqslant {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \hfill \\\Rightarrow \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \geqslant \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{a + b + c}} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{a + b + c}} \geqslant \dfrac{{{{12}^2}}}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}(1) = \dfrac{{{{12}^2}}}{{\sqrt {24} }} \hfill \\\end{gathered} $
vậy ${\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)_{\min }} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{\sqrt {24} }}$
đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$

Bài giải của em mắc 2 lỗi :
Lỗi 1: chỗ số (1) phải là $\dfrac{{12^2 }}{{\sqrt {3\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)} }} = \dfrac{{12^2 }}{6} = 24$ nhé
Lỗi 2:
Em chắc $a+b+c$ dương chưa mà chia 2 vế BĐT cho $a+b+c$ ?????

[windkiss]

Bài giải của em mắc 2 lỗi :
Lỗi 1: chỗ số (1) phải là $\dfrac{{12^2 }}{{\sqrt {3\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)} }} = \dfrac{{12^2 }}{6} = 24$ nhé
Lỗi 2:
Em chắc $a+b+c$ dương chưa mà chia 2 vế BĐT cho $a+b+c$ ?????

Chữa lỗi 2 này:
Giả sử -1<a<0 thì 1>$a^{2} $
Tương tự -1<b<0 thì 1>$b^{2} $
-1<c<0 thì 1>$c^{2} $
$a^{2} $+$b^{2} $+$c^{2} $ <3 (vo li')
a>0; b>0; c>0

[anh qua]

Chữa lỗi 2 này:
Giả sử -1<a<0 thì 1>$a^{2} $
Tương tự -1<b<0 thì 1>$b^{2} $
-1<c<0 thì 1>$c^{2} $
$a^{2} $+$b^{2} $+$c^{2} $ <3 (vo li')
a>0; b>0; c>0

bạn này sai rồi. chưa chắc cả ba biến cùng nhỏ hơn 0, có thể chỉ có hai biến nhỏ hơn 0 hoặc một biến nhỏ hơn không còn các biến còn lại nhỏ hơn không


đây là lời giải chuẩn.
từ gt suy ra:
$(a-2)^2(a+1) \geq 0$
suy ra:$a^3-3a^2+4 \geq 0$
xây dựng hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế ta có đpcm.
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 12-03-2011 - 21:15