Đến nội dung

Hình ảnh

BĐT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Cho $x,y,z>0;x+y+z=xyz$
Chứng minh rằng :$\dfrac{x}{{z\sqrt {x^2 + 1} }} + \dfrac{y}{{x\sqrt {y^2 + 1} }} + \dfrac{z}{{y\sqrt {z^2 + 1} }} \geqslant \dfrac{3}{2}$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
SLNA

SLNA

    Bảo Duyên

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Đặt $\dfrac{1}{x}=a, \dfrac{1}{y}=b, \dfrac{1}{z}=c$
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{c}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{a}{\sqrt{b^2+1}}\geq \dfrac{3}{2}$(1)
Do x+y+z=xyz nên ab+ac+bc=1
(1)$\Leftrightarrow$ $\dfrac{c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\dfrac{b}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{a}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}\geq \dfrac{3}{2}$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy Schwarz ta có dpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow$ $x=y=z=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SLNA: 13-02-2011 - 10:13


#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Đây là 2 BĐT mình +bạn mình chế ,mời các mem giải thử :D
1/Cho $a,b,c>0;4abc-(a+b+c)=1$.Chứng minh rằng :$8a^2 b^2 c^2 + 2abc - 1 \geqslant 2\left( {\sqrt {\dfrac{{a + 1}}{{2c}}} + \sqrt {\dfrac{{b + 1}}{{2a}}} + \sqrt {\dfrac{{c + 1}}{{2b}}} } \right)$
2/Cho $x,y,z>0;xy+yz+zx=1$.Chứng minh rằng :$\dfrac{9}{{4\left( {x + y + z} \right)}} \geqslant \dfrac{x}{{1 + x^2 }} + \dfrac{y}{{1 + y^2 }} + \dfrac{z}{{1 + z^2 }}$
Hay 1 BDT nhìn "đẹp" hơn sau,với cùng điều kiện:
$\dfrac{x^2}{y(1-z^2)+z(1-y^2)}+\dfrac{y^2}{x.(1-z^2)+z(1-x^2)}+\dfrac{z^2}{x.(1-y^2)+y(1-x^2)} $
$\geq \dfrac{x}{1+x^2}+\dfrac{y}{1+y^2}+\dfrac{z}{1+z^2}$

P/s:Chứng minh mấy bài trên trước rồi hãy chứng minh bài dưới nhé ! :D
Và đây là bài mình "thêm mắm thêm muối" từ 1 bài đã biết :
Cho $x,y,z \in R,x,y,z \neq 0;x^6+y^6+z^6 \leq 3$
CM:$\sum {x^4 } + 2\sum {x^2 } \ge 3x^2 y^2 z^2 + 2\sum {x^3 }$
-------------------------------
Tổng cộng là 4 bài .Các bạn chém dần đi nào ;)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 14-02-2011 - 15:59

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
SLNA

SLNA

    Bảo Duyên

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
2,
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{9}{4}\geq (a+b+c)\dfrac{2xy+2yz+2xz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
$\Leftrightarrow$ $(x+y)(y+z)(x+z)\geq 9xyz $
Dùng bất đẳng thức AM-GM ta có dpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Chứng minh cái "đẹp" hơn với cùng điều kiện
Ta sẽ chứng minh:
$\sum \dfrac{x^2}{y(1-z^2)+z(1-y^2)}$ $\geq \dfrac{9}{4}$
Dùng Cauchy Schwarz ta được
$\sum \dfrac{x^2}{y(1-z^2)+z(1-y^2)}$ $\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{2x+2y+2z-xy(x+y)-yz(y+z)-xz(x+z)}$
Vậy ta cần chứng minh:
$\dfrac{(x+y+z)^2}{2x+2y+2z-xy(x+y)-yz(y+z)-xz(x+z)}$ $\geq \dfrac{9}{4}$
$\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq \dfrac{9}{4}\left [ 2x+2y+2z-xy(x+y)-yz(y+z)-xz(x+z) \right ]$
Dùng bất đẳng thức AM-GM ta có dpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SLNA: 16-02-2011 - 12:44


#5
SLNA

SLNA

    Bảo Duyên

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Tặng mọi người
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sum \dfrac{(a+b)(c^3+abc)}{(a+b+c)^2+4ab}\geq \dfrac{4}{13}(ab+ac+bc)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SLNA: 16-02-2011 - 13:05


#6
wallunint

wallunint

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
Mấy bài các bác chế ghê quá :) dùng p,q,r thôi à :)

có bài này mới chế, tuy có cách phát biểu đơn giản mà lại chặt và hay nè :)

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn: $\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 8$. CMR:
$a\sqrt b + b\sqrt c + c\sqrt a \leqslant 3$



ps: bài đầu tiên thì còn 1 cách khác nữa, chia phân thức thứ nhất cho y là xong :)

Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!


#7
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Mấy bài các bác chế ghê quá :) dùng p,q,r thôi à :)

có bài này mới chế, tuy có cách phát biểu đơn giản mà lại chặt và hay nè :)

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn: $\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 8$. CMR:
$a\sqrt b + b\sqrt c + c\sqrt a \leqslant 3$

ps: bài đầu tiên thì còn 1 cách khác nữa, chia phân thức thứ nhất cho y là xong :)

Bài này dùng BĐT Cauchy-Schwarz .
Từ đk $ (a+b)(b+c)(c+a)=8$ ta có $ (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc+8$
$(a+b+c)(ab+bc+ca) \geqslant 9abc $
suy ra $ (a+b+c)(ab+bc+ca) \leqslant 9 $
Do đó theo Cauchy-Schwarz ta có $ a\sqrt b+b\sqrt c+c\sqrt a \leqslant \sqrt {(a+b+c)(ab+bc+ca)} \leqslant 3 $

#8
SLNA

SLNA

    Bảo Duyên

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Đặt a+b=x, a+c=y, b+c=z(x+y>z, x+z>y, y+z>x)
$\Rightarrow a=\dfrac{x+z-y}{2}, b=\dfrac{x+y-z}{2}, c=\dfrac{y+z-x}{2}$
INEQ$\Leftrightarrow (x+z-y)\sqrt{x+y-z}+(x+y-z)\sqrt{y+z-x}+(y+z-x)\sqrt{x+z-y}\leq 6\sqrt{2}$
Dùng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta được
$(x+z-y)\sqrt{x+y-z}+(x+y-z)\sqrt{y+z-x}+(y+z-x)\sqrt{x+z-y}\leq \sqrt{(x+y+z)(2xy+2xz+2yz-x^2-y^2-z^2)}$
Ta cần chứng minh:
$(x+y+z)(2xy+2xz+2yz-x^2-y^2-z^2)\leq 72$
Dùng bất đẳng thức Schur ta có dpcm
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=2$\Leftrightarrow$a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SLNA: 16-02-2011 - 20:35


#9
choisiwon

choisiwon

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

2/Cho $x,y,z>0;xy+yz+zx=1$.Chứng minh rằng :$\dfrac{9}{{4\left( {x + y + z} \right)}} \geqslant \dfrac{x}{{1 + x^2 }} + \dfrac{y}{{1 + y^2 }} + \dfrac{z}{{1 + z^2 }}$

bài ni trong sáng tạo bất đẳng thức phần BDT bunhia nì:(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi choisiwon: 16-03-2011 - 11:09





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh