Chủ đề này có 7 trả lời

[hxthanh]

Cho dãy số $\{U_n\}$ xác định bởi $U_1=U_2=1$

$ \left\{\begin{array}{l}U_{2k+1}=3U_{2k}+6U_{2k-1}\\ \\U_{2k+2}=3U_{2k+1}-6U_{2k}\end{array}\right.\;\;\forall k \ge 1 $

Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

--------------------------
 

 @supermmeber: thử dùng hàm sinh chưa thầy?

@hxthanh: Bài này bình thường thôi, chưa cần đến hàm sinh đâu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 17-04-2013 - 20:04

[perfectstrong]

Cho dãy số $\{U_n\}$ xác định bởi $U_1=U_2=1$

$ \left\{\begin{array}{l}U_{2k+1}=3U_{2k}+6U_{2k-1}\\ \\U_{2k+2}=3U_{2k+1}-6U_{2k}\end{array}\right.\;\;\forall k \ge 1 $

Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

--------------------------
 

 @supermmeber: thử dùng hàm sinh chưa thầy?

@hxthanh: Bài này bình thường thôi, chưa cần đến hàm sinh đâu!

Lời giải:

Đặt $x_n=U_{2n-1};y_n=U_{2n}$. Từ giả thiết, ta có:\[
\left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x_1  = y_1  = 1 \\
 x_{k + 1}  = 3y_k  + 6x_k ,\forall k \ge 1,\left( 1 \right) \\
 y_{k + 1}  = 3x_{k + 1}  - 6y_k ,\forall k \ge 1,\left( 2 \right) \\
 \end{array} \right.
\]
Từ (1) suy ra \[
y_k  = \frac{{x_{k + 1} }}{3} - 2x_k ,\forall k \ge 1
\]
Thế vào (2):\[
\begin{array}{l}
 \frac{{x_{k + 2} }}{3} - 2x_{k + 1}  = 3x_{k + 1}  - \left( {2x_{k + 1}  - 12x_k } \right) \\
  \Leftrightarrow x_{k + 2}  = 9x_{k + 1}  + 36x_k  \\
 \end{array}
\]
Từ (1), suy ra $x_2=3.1+6.1=9$.

Pt đặc trưng của dãy $(x_n)$ là\[
X^2  - 9X - 36 = 0 \Leftrightarrow X =  - 3 \vee X = 12
\]
Do đó:\[
x_n  = \alpha .\left( { - 3} \right)^n  + \beta .12^n
\]
Xét với $n=1,2$, ta có:\[
\left\{ \begin{array}{l}
  - 3\alpha  + 12\beta  = 1 \\
 9\alpha  + 144\beta  = 9 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 \alpha  =  - \frac{1}{{15}} \\
 \beta  = \frac{1}{{15}} \\
 \end{array} \right. \Rightarrow x_n  = \frac{{12^n  - \left( { - 3} \right)^n }}{{15}}
\]
Thế vào (1), ta thu được:\[
y_n  = \frac{{12^{n + 1}  - \left( { - 3} \right)^{n + 1} }}{{3.15}} - 2.\frac{{12^n  - \left( { - 3} \right)^n }}{{15}} = \frac{{12^{n + 1}  - \left( { - 3} \right)^{n + 1}  - 6.12^n  + 6.\left( { - 3} \right)^n }}{{3.15}} = \frac{{2.12^n  + 3.\left( { - 3} \right)^n }}{{15}}
\]
Như vậy:\[
U_n  = \left\{ \begin{array}{l}
 \frac{{12^{\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor }   - \left( { - 3} \right)^{\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor} }}{{15}} \text{ nếu } n \not \vdots 2\\
 \frac{{2.12^{\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor }   + 3.\left( { - 3} \right)^{\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor }}}{{15}} \text{ nếu } n \vdots 2
 \end{array} \right.
\]

______________

@hxthanh: Lời giải thì đúng mà kết luận thì sai

@perfectstrong: Chết, lúc đó buồn ngủ quá, đánh sai mà không để ý Cảm ơn thầy ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-04-2013 - 17:39

[tran thanh binh dv class]

Em xin trình bày lời giải của mình như sau:

Đầu tiên đạt giống anh Hân

 

Lời giải:

Đặt $x_n=U_{2n-1};y_n=U_{2n}$. Từ giả thiết, ta có:\[
\left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x_1  = y_1  = 1 \\
 x_{k + 1}  = 3y_k  + 6x_k ,\forall k \ge 1,\left( 1 \right) \\
 y_{k + 1}  = 3x_{k + 1}  - 6y_k ,\forall k \ge 1,\left( 2 \right) \\
 \end{array} \right.
\]

 

Ta đưa về hệ tương đương là

$\left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1 = y_1 = 1 \\ x_{k + 1} = 3y_k + 6x_k ,\forall k \ge 1,\left( 1 \right) \\ y_{k + 1} = 18x_{k } + 3y_k ,\forall k \ge 1,\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.$

 

Xét các Đằng thức quen thuộc sau:

 

$x_{n+1}-\frac{1}{2}y_{n+1}=(-3)(x_{n}-\frac{1}{2}y_{n})=... =(-3)^n.\frac{1}{2}$

 

$x_{n+1}+\frac{1}{3}y_{n+1}=12(x_{n}+\frac{1}{3}y_{n})=... =(12)^n.\frac{4}{3}$

 

Từ đó ta dễ dàng tính được

 

$x_{n+1}=\frac{(-3)^n+4.12^n}{5}; y_{n+1}=\frac{12^n.8-3.(-3)^n}{5}$

 

Vậy $U_{2n+1}=\frac{(-3)^n+4.12^n}{5}; U_{2n+2}=\frac{12^n.8-3.(-3)^n}{5}$

 

 

 

[hxthanh]

......

Như vậy:$$U_n  = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{12^n  - \left( { - 3} \right)^n }}{{15}} \text{ nếu } n \not \vdots 2\\ \frac{{2.12^n  + 3.\left( { - 3} \right)^n }}{{15}}\text{ nếu } n \vdots 2 \end{array} \right.$$

 

Đáp án của Hân viết như vậy là SAI! viết như tran thanh binh dv class thì đúng! Hoặc tinh tế hơn thì đáp án chỉ có một công thức thôi! Đó là:

$\boxed{\displaystyle U_n=\dfrac{(-3)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}+2^{n+1}.3^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}}{5}}$

[perfectstrong]

Đáp án của Hân viết như vậy là SAI! viết như tran thanh binh dv class thì đúng! Hoặc tinh tế hơn thì đáp án chỉ có một công thức thôi! Đó là:

$\boxed{\displaystyle U_n=\dfrac{(-3)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}+2^{n+1}.3^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}}{5}}$

Ủa? Trong công thức của em, dấu $\{$ mang ý nghĩa là liệt kê mà thầy? Nó sai chỗ nào ạ?

[hxthanh]

Sai ở chỗ giá trị của $n$ ở chỉ số của $U_n$ và vế phải!

Giá trị $n$ ở vế phải chỉ "xấp xỉ" một nửa so với chỉ số (em hiểu chưa?)

 

Viết như em thì, nếu $n$ lẻ thì

$U_{n}=\frac{12^n-(-3)^n}{15}$

 

Thực tế thì phải là:

 

$U_{2n+1}=\frac{12^n-(-3)^n}{15}$

 

@perfectstrong: Đã sửa ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-04-2013 - 17:38

[PSW]

Chấm bài: 

tran thanh binh dv class 10 điểm

[robocon1999]

cái này giải giống bài dãy số trong toán máy tính bỏ túi hả thầy???