Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm SHTQ $$ \left\{\begin{array}{l}U_{2k+1}=3U_{2k}+6U_{2k-1}\\ \\U_{2k+2}=3U_{2k+1}-6U_{2k}\end{array}\right.\;\;\forall k \ge 1 $$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-03-2011 - 13:08

Cho dãy số $\{U_n\}$ xác định bởi $U_1=U_2=1$

$ \left\{\begin{array}{l}U_{2k+1}=3U_{2k}+6U_{2k-1}\\ \\U_{2k+2}=3U_{2k+1}-6U_{2k}\end{array}\right.\;\;\forall k \ge 1 $

Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

--------------------------
 

 @supermmeber: thử dùng hàm sinh chưa thầy?

@hxthanh: Bài này bình thường thôi, chưa cần đến hàm sinh đâu! :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 17-04-2013 - 20:04

Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 18-04-2013 - 12:14

Cho dãy số $\{U_n\}$ xác định bởi $U_1=U_2=1$

$ \left\{\begin{array}{l}U_{2k+1}=3U_{2k}+6U_{2k-1}\\ \\U_{2k+2}=3U_{2k+1}-6U_{2k}\end{array}\right.\;\;\forall k \ge 1 $

Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

--------------------------
 

 @supermmeber: thử dùng hàm sinh chưa thầy?

@hxthanh: Bài này bình thường thôi, chưa cần đến hàm sinh đâu! :)

Lời giải:

Đặt $x_n=U_{2n-1};y_n=U_{2n}$. Từ giả thiết, ta có:\[
\left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x_1  = y_1  = 1 \\
 x_{k + 1}  = 3y_k  + 6x_k ,\forall k \ge 1,\left( 1 \right) \\
 y_{k + 1}  = 3x_{k + 1}  - 6y_k ,\forall k \ge 1,\left( 2 \right) \\
 \end{array} \right.
\]
Từ (1) suy ra \[
y_k  = \frac{{x_{k + 1} }}{3} - 2x_k ,\forall k \ge 1
\]
Thế vào (2):\[
\begin{array}{l}
 \frac{{x_{k + 2} }}{3} - 2x_{k + 1}  = 3x_{k + 1}  - \left( {2x_{k + 1}  - 12x_k } \right) \\
  \Leftrightarrow x_{k + 2}  = 9x_{k + 1}  + 36x_k  \\
 \end{array}
\]
Từ (1), suy ra $x_2=3.1+6.1=9$.

Pt đặc trưng của dãy $(x_n)$ là\[
X^2  - 9X - 36 = 0 \Leftrightarrow X =  - 3 \vee X = 12
\]
Do đó:\[
x_n  = \alpha .\left( { - 3} \right)^n  + \beta .12^n
\]
Xét với $n=1,2$, ta có:\[
\left\{ \begin{array}{l}
  - 3\alpha  + 12\beta  = 1 \\
 9\alpha  + 144\beta  = 9 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 \alpha  =  - \frac{1}{{15}} \\
 \beta  = \frac{1}{{15}} \\
 \end{array} \right. \Rightarrow x_n  = \frac{{12^n  - \left( { - 3} \right)^n }}{{15}}
\]
Thế vào (1), ta thu được:\[
y_n  = \frac{{12^{n + 1}  - \left( { - 3} \right)^{n + 1} }}{{3.15}} - 2.\frac{{12^n  - \left( { - 3} \right)^n }}{{15}} = \frac{{12^{n + 1}  - \left( { - 3} \right)^{n + 1}  - 6.12^n  + 6.\left( { - 3} \right)^n }}{{3.15}} = \frac{{2.12^n  + 3.\left( { - 3} \right)^n }}{{15}}
\]
Như vậy:\[
U_n  = \left\{ \begin{array}{l}
 \frac{{12^{\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor }   - \left( { - 3} \right)^{\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor} }}{{15}} \text{ nếu } n \not \vdots 2\\
 \frac{{2.12^{\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor }   + 3.\left( { - 3} \right)^{\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor }}}{{15}} \text{ nếu } n \vdots 2
 \end{array} \right.
\]

______________

@hxthanh: Lời giải thì đúng mà kết luận thì sai :))

@perfectstrong: Chết, lúc đó buồn ngủ quá, đánh sai mà không để ý :D Cảm ơn thầy ạ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-04-2013 - 17:39

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 19-04-2013 - 11:18

Em xin trình bày lời giải của mình như sau:

Đầu tiên đạt giống anh Hân

 

Lời giải:

Đặt $x_n=U_{2n-1};y_n=U_{2n}$. Từ giả thiết, ta có:\[
\left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x_1  = y_1  = 1 \\
 x_{k + 1}  = 3y_k  + 6x_k ,\forall k \ge 1,\left( 1 \right) \\
 y_{k + 1}  = 3x_{k + 1}  - 6y_k ,\forall k \ge 1,\left( 2 \right) \\
 \end{array} \right.
\]

 

Ta đưa về hệ tương đương là

$\left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1 = y_1 = 1 \\ x_{k + 1} = 3y_k + 6x_k ,\forall k \ge 1,\left( 1 \right) \\ y_{k + 1} = 18x_{k } + 3y_k ,\forall k \ge 1,\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.$

 

Xét các Đằng thức quen thuộc sau:

 

$x_{n+1}-\frac{1}{2}y_{n+1}=(-3)(x_{n}-\frac{1}{2}y_{n})=... =(-3)^n.\frac{1}{2}$

 

$x_{n+1}+\frac{1}{3}y_{n+1}=12(x_{n}+\frac{1}{3}y_{n})=... =(12)^n.\frac{4}{3}$

 

Từ đó ta dễ dàng tính được

 

$x_{n+1}=\frac{(-3)^n+4.12^n}{5}; y_{n+1}=\frac{12^n.8-3.(-3)^n}{5}$

 

Vậy $U_{2n+1}=\frac{(-3)^n+4.12^n}{5}; U_{2n+2}=\frac{12^n.8-3.(-3)^n}{5}$

 

 

 


Hình đã gửi


#4 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-04-2013 - 15:18

......

Như vậy:$$U_n  = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{12^n  - \left( { - 3} \right)^n }}{{15}} \text{ nếu } n \not \vdots 2\\ \frac{{2.12^n  + 3.\left( { - 3} \right)^n }}{{15}}\text{ nếu } n \vdots 2 \end{array} \right.$$

 

Đáp án của Hân viết như vậy là SAI! viết như tran thanh binh dv class thì đúng! Hoặc tinh tế hơn thì đáp án chỉ có một công thức thôi! Đó là:

$\boxed{\displaystyle U_n=\dfrac{(-3)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}+2^{n+1}.3^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}}{5}}$


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 19-04-2013 - 15:21

Đáp án của Hân viết như vậy là SAI! viết như tran thanh binh dv class thì đúng! Hoặc tinh tế hơn thì đáp án chỉ có một công thức thôi! Đó là:

$\boxed{\displaystyle U_n=\dfrac{(-3)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}+2^{n+1}.3^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}}{5}}$

Ủa? Trong công thức của em, dấu $\{$ mang ý nghĩa là liệt kê mà thầy? Nó sai chỗ nào ạ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#6 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-04-2013 - 15:25

Sai ở chỗ giá trị của $n$ ở chỉ số của $U_n$ và vế phải!

Giá trị $n$ ở vế phải chỉ "xấp xỉ" một nửa so với chỉ số (em hiểu chưa?)

 

Viết như em thì, nếu $n$ lẻ thì

$U_{n}=\frac{12^n-(-3)^n}{15}$

 

Thực tế thì phải là:

 

$U_{2n+1}=\frac{12^n-(-3)^n}{15}$

 

@perfectstrong: Đã sửa ạ :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-04-2013 - 17:38

Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-05-2013 - 15:41

Chấm bài: 

tran thanh binh dv class 10 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#8 robocon1999

robocon1999

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ho Chi Minh city
  • Sở thích:rất nhiều

Đã gửi 27-05-2014 - 18:29

cái này giải giống bài dãy số trong toán máy tính bỏ túi hả thầy???






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh