Chủ đề này có 6 trả lời

[SLNA]

Cho $a, b, c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\leq \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}$$

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng    cho bài toán này.

Nếu hết ngày 3/9 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng    sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[hoangtubatu955]

Ta có:
$\sum \frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}} \le \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \sqrt{\frac{a^2+ac+c^2}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{b^2+bc+c^2}{a^2+ac+c^2}}-2 \right )\leq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(\sqrt{a^2+ac+c^2}-\sqrt{b^2+bc+c^2})^2}{\sqrt{(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)}}\leq \frac{\sum (a^2-b^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)}\left ( \sqrt{a^2+ac+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2} \right )^2} \right )\geq 0$
Lại có $\sqrt{a^2+ac+c^2} \ge \frac{(a+c)\sqrt{3}}{2}$, nên ta cần chứng minh.
$\sum (a-b)^2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2} \right )\geq 0$
Bất đẳng thức cuối đúng do:
$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}>\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2}$
Vậy, bài toán chứng minh xong!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 03-09-2014 - 12:34

[Viet Hoang 99]

Ta có:
$\sum \frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}} \le \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \sqrt{\frac{a^2+ac+c^2}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{b^2+bc+c^2}{a^2+ac+c^2}}-2 \right )\leq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(\sqrt{a^2+ac+c^2}-\sqrt{b^2+bc+c^2})^2}{\sqrt{(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)}}\leq \frac{\sum (a^2-b^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)}\left ( \sqrt{a^2+ac+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2} \right )} \right )\geq 0$
Lại có $\sqrt{a^2+ac+c^2} \ge \frac{(a+c)\sqrt{3}}{2}$, nên ta cần chứng minh.
$\sum (a-b)^2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2} \right )\geq 0$
Bất đẳng thức cuối đúng do:
$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}>\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2}$
Vậy, bài toán chứng minh xong!

Chứng minh như nào anh?

[PolarBear154]

Chứng minh như nào anh?

$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}>\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2}\\ \Leftrightarrow 9(a+b)^{2}(a+c)(b+c)(a+b+2c)^{2}>16(a+b+c)^{2}(\sum a^{2}b^{2})$

VT$\geq 36\prod (a+b)^{2}$ do $(a+b+2c)^{2}=[(a+c)+(b+c)]^{2}\geq 4(a+c)(b+c)$

Lại có:

$81\prod (a+b)^{2}\geq 64(a+b+c)^{2}(\sum ab)^{2}$ nên ta cần cm:

$\frac{16}{9}(ab+bc+ca)^{2}> \sum a^{2}b^{2}$

Dễ thấy điều này đúng với a,b,c dương.

@hoangtubatu955: Dấu tương đương thứ 3 ở đoạn cuối thiếu cái bình phương nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PolarBear154: 01-09-2014 - 14:55

[hoangtubatu955]

 

$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}>\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2}\\ \Leftrightarrow 9(a+b)^{2}(a+c)(b+c)(a+b+2c)^{2}>16(a+b+c)^{2}(\sum a^{2}b^{2})$

VT$\geq 36\prod (a+b)^{2}$ do $(a+b+2c)^{2}=[(a+c)+(b+c)]^{2}\geq 4(a+c)(b+c)$

Lại có:

$81\prod (a+b)^{2}\geq 64(a+b+c)^{2}(\sum ab)^{2}$ nên ta cần cm:

$\frac{16}{9}(ab+bc+ca)^{2}> \sum a^{2}b^{2}$

Dễ thấy điều này đúng với a,b,c dương.

@hoangtubatu955: Dấu tương đương thứ 3 ở đoạn cuối thiếu cái bình phương nhé ! 

 

Cảm ơn cậu nha, mình viết nhiều quá lóa mắt đi, hi. Cái Bất đẳng thức cuối cậu chứng minh cụ thể cho mọi người hiểu, cảm ơn cậu nhé! Đã fix

[bangbang1412]

Thực ra là ở đây :

http://www.artofprob...590828#p3590828