Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh $\sum \dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\le ...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 SLNA

SLNA

    Bảo Duyên

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghe An province

Đã gửi 07-03-2011 - 14:25

Cho $a, b, c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\leq \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}$$



#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-08-2014 - 09:10

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.

Nếu hết ngày 3/9 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 01-09-2014 - 13:12

Ta có:
$\sum \frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}} \le \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \sqrt{\frac{a^2+ac+c^2}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{b^2+bc+c^2}{a^2+ac+c^2}}-2 \right )\leq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(\sqrt{a^2+ac+c^2}-\sqrt{b^2+bc+c^2})^2}{\sqrt{(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)}}\leq \frac{\sum (a^2-b^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)}\left ( \sqrt{a^2+ac+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2} \right )^2} \right )\geq 0$
Lại có $\sqrt{a^2+ac+c^2} \ge \frac{(a+c)\sqrt{3}}{2}$, nên ta cần chứng minh.
$\sum (a-b)^2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2} \right )\geq 0$
Bất đẳng thức cuối đúng do:
$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}>\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2}$
Vậy, bài toán chứng minh xong!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 03-09-2014 - 12:34


#4 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:...

Đã gửi 01-09-2014 - 14:22

Ta có:
$\sum \frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}} \le \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \sqrt{\frac{a^2+ac+c^2}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{b^2+bc+c^2}{a^2+ac+c^2}}-2 \right )\leq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(\sqrt{a^2+ac+c^2}-\sqrt{b^2+bc+c^2})^2}{\sqrt{(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)}}\leq \frac{\sum (a^2-b^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)}\left ( \sqrt{a^2+ac+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2} \right )} \right )\geq 0$
Lại có $\sqrt{a^2+ac+c^2} \ge \frac{(a+c)\sqrt{3}}{2}$, nên ta cần chứng minh.
$\sum (a-b)^2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}-\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2} \right )\geq 0$
Bất đẳng thức cuối đúng do:
$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}>\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2}$
Vậy, bài toán chứng minh xong!

Chứng minh như nào anh?



#5 PolarBear154

PolarBear154

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 396 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Cát bụi
  • Sở thích:Ngất ngưởng =)

Đã gửi 01-09-2014 - 14:50

Chứng minh như nào anh?

$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}>\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2}\\ \Leftrightarrow 9(a+b)^{2}(a+c)(b+c)(a+b+2c)^{2}>16(a+b+c)^{2}(\sum a^{2}b^{2})$
VT$\geq 36\prod (a+b)^{2}$ do $(a+b+2c)^{2}=[(a+c)+(b+c)]^{2}\geq 4(a+c)(b+c)$
Lại có:
$81\prod (a+b)^{2}\geq 64(a+b+c)^{2}(\sum ab)^{2}$ nên ta cần cm:
$\frac{16}{9}(ab+bc+ca)^{2}> \sum a^{2}b^{2}$
Dễ thấy điều này đúng với a,b,c dương.
@hoangtubatu955: Dấu tương đương thứ 3 ở đoạn cuối thiếu cái bình phương nhé! :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PolarBear154: 01-09-2014 - 14:55

Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc... 


#6 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 03-09-2014 - 12:33

 

$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}>\frac{16(a+b+c)^2}{9(a+c)(b+c)(a+b+2c)^2}\\ \Leftrightarrow 9(a+b)^{2}(a+c)(b+c)(a+b+2c)^{2}>16(a+b+c)^{2}(\sum a^{2}b^{2})$
VT$\geq 36\prod (a+b)^{2}$ do $(a+b+2c)^{2}=[(a+c)+(b+c)]^{2}\geq 4(a+c)(b+c)$
Lại có:
$81\prod (a+b)^{2}\geq 64(a+b+c)^{2}(\sum ab)^{2}$ nên ta cần cm:
$\frac{16}{9}(ab+bc+ca)^{2}> \sum a^{2}b^{2}$
Dễ thấy điều này đúng với a,b,c dương.
@hoangtubatu955: Dấu tương đương thứ 3 ở đoạn cuối thiếu cái bình phương nhé :)

 

Cảm ơn cậu nha, mình viết nhiều quá lóa mắt đi, hi. Cái Bất đẳng thức cuối cậu chứng minh cụ thể cho mọi người hiểu, cảm ơn cậu nhé! Đã fix



#7 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1596 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:l'Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic integration, motivic stable homotopy category

Đã gửi 03-09-2014 - 12:48

Thực ra là ở đây :

http://www.artofprob...590828#p3590828


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh