Trước khi ghi ra thêm 2 cách chứng minh Euler-Fermat, xin nói hai chuyện nhỏ :
- Rất thích cách của K09 cho định lý Minkowski :clap Tìm ra thêm được cách nào thì em cứ post lên nhé !
- Trong bài của thầy Namdung hình như công thức tính diện tích ellipse đã biến mất :cry Sau hàng "Mà diện tích này thì bằng", trước câu "chỗ không sơ cấp duy nhất", trên máy tôi chỉ thấy một hàng trắng...
Cách xuống thang của Euler-FermatVì -1 là thặng dư bậc hai đối với
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x,m sao cho
http://dientuvietnam...etex.cgi?0<m<p. Do đó, tập hợp các số nguyên
http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m (
http://dientuvietnam...metex.cgi?0<m<p) sao cho tồn tại hai số nguyên
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x,y thỏa mãn
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_0 của tập hợp này. Nếu
http://dientuvietnam...metex.cgi?m_0=1 thì ta có đpcm. Giả sử
http://dientuvietnam...etex.cgi?m_0>1. Nhận xét rằng
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m_0 không thể là ước số chung của
http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y, vì nếu sự việc này xảy ra, ta sẽ có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c,d sao cho hai số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1=x-cm_0 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_1=y-dm_0 thỏa mãn
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0<m_1<m_0 (do bđt
)
Nhân hai vế của phương trình này với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2+y_2=m_0p, ta thu được
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xx_1+yy_1=x(x-cm_0)+y(y-dm_0)=m_0X, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X=p-cx-dy
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xy_1-x_1y=x(y-dm_0)-y(x-cm_0)=m_0Y, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y=cy-dx.
Đơn giản cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_0^2 thì ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_1p=X^2+Y^2, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0<m_1<m_0. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_0.
Cách lưới nguyên của GraceCũng vì -1 là thặng dư bậc hai, tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\ell nguyên sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda của mặt phẳng, ta xét các điểm nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x,y) sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M (phải kiểm rằng đây là một lưới, nhưng không khó). Lấy một vòng tròn lớn có tâm tại gốc tọa độ. Trong vòng tròn này, tỷ lệ số điểm của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M "gần" bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1/p, và có giá trị tiệm cận là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1/p khi bán kính vòng tròn tiến tới vô cực. Vậy, diện tích của hình bình hành cơ bản của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M phải bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p.
Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=(\xi,\eta) một điểm của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M nằm gần gốc tọa độ nhất. Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\eta\equiv\ell\xi\;[p] nên
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-\xi\equiv\ell^2\xi\equiv\ell\eta\;[p].
Vì thế, điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B=(-\eta,\xi) cũng thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Trong tam giác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OAB không có điểm nào của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M (theo định nghĩa của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A). Trong hình vuông dựng trên các cạnh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OA,OB, cũng không có điểm nào của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Do đó, hình vuông này là hình bình hành cơ bản của lưới http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Diện tích của nó bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, tức là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\xi^2+\eta^2=p.